Навколо трикутника ABC описано коло з центром O
і радіусом R.​

Ну, раз то это супер. Тогда можно взяться за решение сей задачи. Значит, слушай сюда:

Высота разбивает твой равносторонний треугольник на два одинаковых прямоугольных, так? В таком прямоугольном треугольнике тебе известен один катет = 6*корень(3), и противолежащий угол, он равен 60 градусов, ибо в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов. Можно найти гипотенузу - это будет катет, разделить на синус 60 градусов.

Синус 60 градусов мы знаем что равен корень(3)/2.
sin(60) = корень(3)/2.

Итого, гипотенуза = 6*корень(3)  / (корень(3) / 2 )  = 6*2 = 12.

А что такое гипотенуза прямоугольного треугольничка? Это же как раз есть сторона равностороннего, а таких сторон в треугольнике ровно 3.

Значит можем найти ответ: периметр р = 3 * 12 = 36.

Так у меня получается.

Итак. Сначала находим сторону НВ по теореме Пифагора. Это 4√3. Затем по свойствам проекции высоты на гипотенузу находим вторую ее часть - АН. (h/4√3=x/h) Высота у нас известна, это 4, следовательно развязываем пропорцию. Получается 16√3/3. Далее по теореме Пифагора находим сторону АС. Это 8√3/3. 
Известно, что косА это отношение прилежащего к углу катета на гипотенузу. В данном случае прилежащий катет - это АС, следовательно пропорция - АС/АВ. Получается пропорция 16√3/3:8√3/3. Дробь переворачиваем, сокращаем, и получаеся 1/2.   Это табличное значение, известно что кос1/2 = 60 градусам.