Дана правильная треугольная пирамида SABC, её высота H = SO = 24, апофема A = SD = 25. Hайти расстояние CK от C до плоскости SAB.
Найдём проекцию OD апофемы А на основание АВС. OD = √(A² - H²) = √(25² - 24²) = √(625 - 576) = √49 = 7. Рассмотрим осевое сечение пирамиды через ребро CS и апофему SD. Высота СК на апофему и является искомым расстоянием от С до плоскости SAB. CD - высота основания, она равна трём отрезкам OD: CD = 3*7 = 21. Треугольники SOD и CKD подобны по двум углам (один прямой, второй взаимно перпендикулярный).CK/CD = SO/SD. CK = SO*CD/SD = 24*21/25 = 504/25 = 20,16.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство:
Пусть в ΔАВС АВ > ВС. Докажем, что ∠С > ∠А.
Отложим на стороне АВ отрезок ВК = ВС. Так как АВ > ВС, то точка К будет лежать между точками А и В, тогда угол 1 будет частью угла С:
∠1 < ∠С.
∠2 - внешний для ΔАСК, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Тогда ∠2 = ∠А + ∠АСК, т.е.
∠2 > ∠А.
И еще ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника ВСК. Получаем:
∠А < ∠2 < ∠C, значит
∠А < ∠С
Обратная теорема: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Доказательство:
Пусть в треугольнике АВС ∠С > ∠A. Докажем, что АВ > ВС.
Предположим, что АВ < ВС. Тогда по доказанной теореме ∠С должен быть меньше ∠А. Это противоречит условию. Значит предположение неверно, АВ > ВС.
Найдём проекцию OD апофемы А на основание АВС.
OD = √(A² - H²) = √(25² - 24²) = √(625 - 576) = √49 = 7.
Рассмотрим осевое сечение пирамиды через ребро CS и апофему SD.
Высота СК на апофему и является искомым расстоянием от С до плоскости SAB.
CD - высота основания, она равна трём отрезкам OD:
CD = 3*7 = 21.
Треугольники SOD и CKD подобны по двум углам (один прямой, второй взаимно перпендикулярный).CK/CD = SO/SD.
CK = SO*CD/SD = 24*21/25 = 504/25 = 20,16.