Найбільша сторона прямокутної трапеції дорівнює 18 см і утворює з найбільшою основою кут 30 градусів. знайти периметр трапеції, якщо відомо, що в неї можна вписати коло​

т.О — центр описанной около ∆ АВС окружности, ч.т.д.

Объяснение:

В ∆ АОС углы при основании АС равны. Следовательно, ∆ АОС –равнобедренный, и АО=ОС.

В ∆ АОВ отрезок ОМ⊥АВ и делит её пополам. ⇒

ОМ высота и медиана ∆ АОВ. ⇒ ∆ АОВ — равнобедренный, и

АО=ОВ. Отрезки АО=ОВ=ОС

Точки А, В и С находятся на одном и том же расстоянии от О, следовательно, принадлежат окружности, так как ей принадлежит множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки, следовательно

(ответ сверху)

АД - диаметр, так как окружность в точке Д касается СД.

Отсюда следует, что треугольник АРД - прямоугольный.

Имеем 2 подобных треугольника: АРД и АВС.

Пусть ВС = х, РД = у.

Составим систему уравнений:

{х/АВ = АР/у,

{х² + РД² = АД² = ВС².

Подставим известные данные.

{(х/(9√10)) = 3/у,

{х² = 9 + у².

Из второго уравнения х = √(9 + у²).

Первое уравнение получится таким:

у*(√(9 + у²)) = 27√10.

Возведём обе части в квадрат и получим биквадратное уравнение:

y^4 + 9y^2 - 27²*10 = 0. Делаем замену: y² = z.

z² + 9z - 7290 = 0.

Находим дискриминант:

D=9^2-4*1*(-7290)=81-4*(-7290)=81-(-4*7290)=81-(-29160)=81+29160=29241;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

z_1=(2root29241-9)/(2*1)=(171-9)/2=162/2=81;

z_2=(-2root29241-9)/(2*1)=(-171-9)/2=-180/2=-90.

Обратная замена (отрицательное значение отбрасываем - из него корень не извлекается).

y = √81 = ±9.

Для длины принимаем положительное значение.

ответ: ДР = у = 9.