Рассмотрим 2 треугольника АОN и ВОN. Они оба прямоугольные - углы ОАN и ВОN - прямые между касательными и радиусом окружности. Треугольники равны, т.к. ОА=ОВ - радиусы одной окружности, ON - общая. Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Против стороны ОА лежит угол АNО, а против стороны ОВ лежит угол ОNВ. Они равны, значит, ON - биссектриса угла АNВ. А если одни острые углы прямоугольного треугольника равны, то и другие равны. Значит, угол АОN равен углу ВОN. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против угла АОN лежит АN, а против угла ВОN лежит BN. Значит АN равно ВN. Что и требовалось доказать.
Опустим из В перпендикуляр ВН на плоскость α. Пусть ВН=а Δ АВН прямоугольный. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°⇒ ∠АВН =90°-45°=45°. Два равных угла - свойство равнобедренного треугольника. ⇒ АН=ВН=а Проведем отрезок НС⊥АН до пересечения с прямой АС. Δ АНС прямоугольный, а т.к. ∠НАС=45°, то ∠НСА=45°⇒ Δ ВНС - равнобедренный. Соединим В и С В прямоугольных треугольниках АВН, СВН, АСН - катеты равны а. Следовательно, эти треугольники равны, из чего следует равенство их гипотенуз АВ=ВС=АС. Δ АВС - равносторонний, все углы равностороннего треугольника равны 60°⇒∠ВАС=60°, что и требовалось доказать.
Рассмотрим 2 треугольника АОN и ВОN. Они оба прямоугольные - углы ОАN и ВОN - прямые между касательными и радиусом окружности. Треугольники равны, т.к. ОА=ОВ - радиусы одной окружности, ON - общая. Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Против стороны ОА лежит угол АNО, а против стороны ОВ лежит угол ОNВ. Они равны, значит, ON - биссектриса угла АNВ. А если одни острые углы прямоугольного треугольника равны, то и другие равны. Значит, угол АОN равен углу ВОN. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против угла АОN лежит АN, а против угла ВОN лежит BN. Значит АN равно ВN. Что и требовалось доказать.
Пусть ВН=а
Δ АВН прямоугольный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°⇒
∠АВН =90°-45°=45°.
Два равных угла - свойство равнобедренного треугольника. ⇒ АН=ВН=а
Проведем отрезок НС⊥АН до пересечения с прямой АС.
Δ АНС прямоугольный, а т.к. ∠НАС=45°, то ∠НСА=45°⇒
Δ ВНС - равнобедренный.
Соединим В и С
В прямоугольных треугольниках АВН, СВН, АСН - катеты равны а.
Следовательно, эти треугольники равны, из чего следует равенство их гипотенуз
АВ=ВС=АС.
Δ АВС - равносторонний, все углы равностороннего треугольника равны 60°⇒∠ВАС=60°, что и требовалось доказать.