Найди длину окружности, вписанной: 1
в равносторонний треугольник со
стороной а;
2 в равнобедренный треугольник с углом 2а
при вершине и боковой стороной а;
3
в прямоугольный треугольник с острым
углом а и противолежащим катетом а.
Решение:
1)

Если в 1,5 раза меньше её большего основания,  то вот решение.

Трапеция АВСД : АД - большее основание, ВС - меньшее основание, АВ = СД  - боковые стороны, АС -диагональ трапеции.
АС I  СД; Обозначим АВ = СД = х; тогда АД = 3х/2., ВН = 10 - высота трапеции

Рассмотрим ΔАСД. Найдём в нём катет АС = √((3х/2)² - х²) = (х√5)/2
Площадь ΔАСД равна: с одной стороны, половине произведения катетов, т.е.
S = 0,5 АС·СД. А с другой стороны  - половине произведения основания на высоту, т.е S = 0,5 AД·ВН. Приравняем правые части этих выражений
0,5 АС·СД = 0,5 АД·ВН
АС·СД = АД·ВН
 (х√5)/2 ·  х = 3х/2 · 10
х²·√5 = 30х            х ≠0
х√5 = 30
х = 30/√5 = 6√5
тогда большее основание равно АД = 3х/2 = 9√5
Рассмотрим ΔАВН и найдём катет АН по гипотенузе АВ = СД = х = 6√5 и катету ВН = 10, используя теорему Пифагора:
АН = √(АВ² - ВН²)= √(36·5 - 100) =√80 = 4√5
Меньшее основание трапеции ВС = АД - 2АН = 9√5 - 2·4√5 = √5
Площадь трапеции равна S = 0,5 (АД + ВС)·ВН = 0,5(9√5 + √5)·10 =
 = 5·10√5 = 50√5
ответ: 50√5

Скалярное произведение этих векторов с одной стороны (по определению)  a*b=|a|*|b|*cosα  ,где  α -угол между  векторами  , с другой стороны (по теореме )       a*b  = a(x)*b(x) +a(y)*b(y) 
Значит :
|a|*|b|*cosα =a(x)*b(x) +a(y)*b(y)      (1) 

|a|²= (a(x))²+(a(y))²    =(1)² + (-2)²  =5   ⇒|a| =√5 ;
|b|²= (b(x))²+(b(y))² =  3² +4²   = 5 ;
a(x)*b(x) +a(y)*b(y)  =1*3 +(-2)*4 = -5;
в ыч   .значения поставим в уравнению (1)  
√5 *5 *cosα  =   - 5 ;
cosα = -1/√5     (α >90)   ;
1+tq²α= 1/cos²α  ⇒tq²α = 1/cos²α  - 1  =1/(-1/√5)²  - 1 =5 -1 =4  ;
tq²α = 4;
tqα = -2  т.к.   (α >90)