Найди измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если его диагональ BD1 = 24 см и составляет с плоскостью грани D.A.A1 угол в 45", а с ребром DD1 - угол в 60*. Решение.
Все грани прямоугольного параллелепипеда -
поэтому
и, следовательно, B.A DAA1. Прямая BD1 пересекает плоскость DAA1
в точке
а прямая AD1 - проекция ＿ на эту плоскость, по тому 1
это угол междудиагональю
и
прямоугольного треугольника AD1 В, в котором Z.A
По условию ZAD1B
Из и ZD1
находим: AB - AD1
см. Из прямоугольного треугольника
BD1D, в котором /D =
BD1 =
ZBD =
по условию,
получаем:
см. Из треугольника AD1D, в котором /D
AD1
=
находим: AD
см.
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
Свойство описанного четырёхугольника: суммы противолежащих сторон равны, значит сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, следовательно периметр равен: Р=2(2+4)=12
Площадь боковой поверхности: Sбок=РН/2=12·5/2=30 ед²
Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию: r=
Площадь трапеции: Sт=h(a+b)/2=6√2
Общая площадь: Sобщ=Sт+Sбок=30+6√2
ответ: a. 30+6