Найди неизвестные элементы b, c, hc, ac, bcпрямоугольного треугольника ABC с высотой hc и проекциями ac и bc на гипотенузу, если известно, что a = 12 см и α= 30° (∠α – угол, противолежащий катету a, ∠β – угол, противолежащий катету b, ∠γ – угол, противолежащий гипотенузе c). Соотнеси соответствующие значения неизвестных элементов треугольника ABC.
ВD - высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит и биссектриса.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
В треугольнике АВМ ВО - биссектриса, значит
АО : ОМ = ВА : ВМ
ВА = АО · ВМ / ОМ = 18 · 16 / 12 = 24 см
Доказательство свойства биссектрисы (на всякий случай)
Проведем прямую АК║BD, К - точка пересечения этой прямой с прямой ВС.
∠DBA = ∠KAB как накрест лежащие (AK ║ BD, AB секущая),
∠CBD = ∠СКА как соответственные (АК ║ BD, СК секущая),
так как ∠DBA = ∠CBD, то и ∠КАВ = ∠СКА, тогда
ΔАВК равнобедренный, АВ = ВК.
По обобщенной теореме Фалеса:
АО : ОМ = КВ : ВМ или
АО : ОМ = АВ : ВМ.
Пирамида MABCD, основание - прямоугольник ABCD: AD=BC=18 см; AB=CD=10 см; O- точка пересечения диагоналей AС и BD, MO - высота пирамиды. Так как у прямоугольника диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то OA = OB = OC = OD - это проекции боковых ребер на основание. Проекции наклонных равны, следовательно, наклонные тоже равны : AM = BM = CM = DM - боковые ребра пирамиды. Тогда ΔAMD = ΔBMC - по трём равным сторонам, ΔAMB = ΔDMC - по трём равным сторонам. Проведем KT║AD ⇒ OK=OT=AD/2 = 18/2 = 9 смΔMOT - прямоугольный, теорема ПифагораMT² = MO² OT² = 12² 9² = 144 81=225 = 15²MT = 15 см см²Проведем FG║DC ⇒ OG=OF=DC/2 = 10/2 = 5 смΔMOF - прямоугольный, теорема ПифагораMF² = MO² OF² = 12² 5² = 144 25 = 169 = 13²MF = 13 см см²Площадь боковой поверхности пирамиды см²Sбок = 384 см²Площадь основания см²Площадь полной поверхности пирамиды S = 384 180 = 564 см²