БИЛЕТ №19. 1.На листочке бумаги чертишь по линейке одну сторону. Обозначь, например конечные точки А и ВЦиркулем на линейке берешь размер второй стороны, в точку А ставишь иголочку циркуля. Карандашом циркуля проводишь дугу.Теперь берешь циркулем размер третьей стороны. Из точки В проводишь циркулем дугу. Где дуги пересеклись, поставь точку С. Это третья вершина твоего треугольника. Соедини точки А, В, С по линейке.А теперь подумай -если сумма длин сторон АС и ВС будет меньше или равна длине стороны АВ, разве твои дуги пересекутся? Попробуй для интереса. Нет, не пересекутся.Отсюда и делаем вывод ( для этого и задачу задали) -сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны. 2.Теорема (Соотношение между сторонами и углами треугольника) . В произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательство. Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С больше угла В. Для этого отложим на луче АВ отрезокAD, равный стороне АС. Треугольник АСD - равнобедренный. Следовательно, Ð1 = Ð2. Угол 1 составляет часть угла С. Поэтому Ð1 < ÐC. С другой стороны, угол 2 является внешним углом треугольника ВСD. Поэтому Ð2 > ÐB. Следовательно, имеем ÐC > Ð1 = Ð2 > ÐB. Следствие: В произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Докажем, что если в треугольнике АВС угол С больше угла В, то и сторона АВ больше стороны АС. Действительно, эти стороны не могут быть равны, так как в этом случае треугольник АВС был бы равнобедренным и, следовательно, угол С равнялся бы углу В. Сторона АВ не может быть меньше стороны АС, так как в этом случае, по доказанному, угол С был бы меньше угла В. Остается только, что сторона АВ больше стороны АС. 3.1) 2+3=5(см) - боковая сторона. 2) 5+2=7(см) - основание Проверка: 5х2=10, 10-3=7 Так же: х - основание у - боковая сторона у+2=х х+3=у2 у+2+3=у2 Так как чтобы из у получить у2 надо к у прибавить у, то (2+3)=у БИЛЕТ №201. Поставить острие циркуля в вершину угла и на обоих лучах угла отложить равные отрезки (сделать засечки). Не меняя раствора циркуля поставить поочередно острие циркуля на засечки, сделанные в шаге 1, и провести дуги, так, чтобы они пересеклись. Точку пересечения дуг соединить с вершиной угла. Это и будет биссектриса. 2.Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB , и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB . Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD .Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD , ADC = BDC . Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника.Теорема доказана. 3.Если внешний угол А равен 120 => сам угол А = 60 (как смежные углы, т. е. 180-120). если угол А = 60 => угол В = 30 градусов. В прямоугольном треукгольнике напроитв угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. то есть. АВ = 2 * АС. =>2*АС + АС = 18.=> 3*АС = 18 => АС = 6 => АВ = 18 - 6 = 12БИЛЕТ №211.Возьми циркуль и выстави на нём длину чуть меньше отрезка. Иглу на начало отрезка, чертим окружность. Иглу на конец отрезка, чертим окружность. Окружности пересекутся в двух точках, соедини эти точки прямой. Прямая пересечёт середину заданного отрезка. 2.Пусть при пересечении прямых а и b секущей c сумма односторонних углов равна 180. Т. к. эти углы 3 и 4 смежные, то 3+4=180. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые параллельны. 3.AO=MH, так как ОС и ЕН - медианы треугольников ABC и MKE. Так как углы С и Е равны и ВС=КЕ, то углы АСО и МЕН также равны. Так как углы В и К равны, то соответственно углы А и М равны, из этого следует, что треугольники АСО и МЕН равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
2.Теорема (Соотношение между сторонами и углами треугольника) . В произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательство. Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С больше угла В. Для этого отложим на луче АВ отрезокAD, равный стороне АС. Треугольник АСD - равнобедренный. Следовательно, Ð1 = Ð2. Угол 1 составляет часть угла С. Поэтому Ð1 < ÐC. С другой стороны, угол 2 является внешним углом треугольника ВСD. Поэтому Ð2 > ÐB. Следовательно, имеем ÐC > Ð1 = Ð2 > ÐB. Следствие: В произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Докажем, что если в треугольнике АВС угол С больше угла В, то и сторона АВ больше стороны АС. Действительно, эти стороны не могут быть равны, так как в этом случае треугольник АВС был бы равнобедренным и, следовательно, угол С равнялся бы углу В. Сторона АВ не может быть меньше стороны АС, так как в этом случае, по доказанному, угол С был бы меньше угла В. Остается только, что сторона АВ больше стороны АС.
3.1) 2+3=5(см) - боковая сторона. 2) 5+2=7(см) - основание Проверка: 5х2=10, 10-3=7 Так же: х - основание у - боковая сторона у+2=х х+3=у2 у+2+3=у2 Так как чтобы из у получить у2 надо к у прибавить у, то (2+3)=у БИЛЕТ №201. Поставить острие циркуля в вершину угла и на обоих лучах угла отложить равные отрезки (сделать засечки). Не меняя раствора циркуля поставить поочередно острие циркуля на засечки, сделанные в шаге 1, и провести дуги, так, чтобы они пересеклись. Точку пересечения дуг соединить с вершиной угла. Это и будет биссектриса.
2.Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB , и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB . Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD .Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD , ADC = BDC . Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника.Теорема доказана.
3.Если внешний угол А равен 120 => сам угол А = 60 (как смежные углы, т. е. 180-120). если угол А = 60 => угол В = 30 градусов. В прямоугольном треукгольнике напроитв угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. то есть. АВ = 2 * АС. =>2*АС + АС = 18.=> 3*АС = 18 => АС = 6 => АВ = 18 - 6 = 12БИЛЕТ №211.Возьми циркуль и выстави на нём длину чуть меньше отрезка. Иглу на начало отрезка, чертим окружность. Иглу на конец отрезка, чертим окружность. Окружности пересекутся в двух точках, соедини эти точки прямой. Прямая пересечёт середину заданного отрезка.
2.Пусть при пересечении прямых а и b секущей c сумма односторонних углов равна 180. Т. к. эти углы 3 и 4 смежные, то 3+4=180. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые параллельны.
3.AO=MH, так как ОС и ЕН - медианы треугольников ABC и MKE. Так как углы С и Е равны и ВС=КЕ, то углы АСО и МЕН также равны. Так как углы В и К равны, то соответственно углы А и М равны, из этого следует, что треугольники АСО и МЕН равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
РЕШЕНИЕ
сделаем построение по условию
построим осевое сечение пирамиды ∆SMM1 , где M - середина ED ; M 1- середина AB
точка О - проекция высоты на основание ; центр отрезка ММ1 ; M1O=OM
М1М2 - высота ∆SMM1 на боковую сторону ; SM - это расстояние между прямыми SM и AB
апофема SM перпендикулярна стороне основания DE , в свою очередь DE || AB , следовательно
угол между прямыми SM и AB равен 90 град
длина апофемы по теореме Пифагора SM^2 = SE^2 - ME^2 = SE^2 - (DE/2)^2
SM = √ (13^2 - (10/2)^2) = √144 =12 см
∆BCD -равнобедренный BC=CD=10 см ; < BCD =120 град
по теореме косинусов BD^2 =BC^2+BD^2 -2*BC*BD*cosBCD =10^2+10^2-2*10*10*cos120=300 ; BD =10√3 см
MM1 = BD =10√3 см ; ОМ = M1M / 2 =10√3 /2 =5√3 см
по теореме Пифагора высота SO = √ (SM^2 - OM^2) = √ (12^2 -(5√3 )^2 ) =√69
запишем площадь сечения ∆SMM1 - двумя приравняем S
1/2 *M1M2*SM = 1/2*SO*M1M
M1M2*SM = SO*M1M
M1M2 = SO*M1M / SM = √69 * 10√3 / 12 = 5√23 / 2 см
ОТВЕТ расстояние =5√23/2 см ; угол =90 град