Пусть дан прямоугольный треугольник АВС, в котором угол В-прямой. Окружность с центром в точке О, которая лежит на гипотенузе касается катета ВС в точке Т и проходит через точку А. Гипотенуза АС пересекает окружность в точке К. К находится между О и А.
Известно, что катеты АВ=12 и ВС=16.
Проведем радиус ОТ. Так как Т точка касания , то треугольник ОТС-прямоугольный и угол Т -прямой.
r=7.5 cm
Объяснение:
Пусть дан прямоугольный треугольник АВС, в котором угол В-прямой. Окружность с центром в точке О, которая лежит на гипотенузе касается катета ВС в точке Т и проходит через точку А. Гипотенуза АС пересекает окружность в точке К. К находится между О и А.
Известно, что катеты АВ=12 и ВС=16.
Проведем радиус ОТ. Так как Т точка касания , то треугольник ОТС-прямоугольный и угол Т -прямой.
Косинус угла С равен:
cosC=BC/AC
Найдем АС по т. Пифагора из треугольника АВС:
АС=sqr(AB^2+BC^2)=sqr(144+256)=sqr400=20
cosC=16/20=4/5
sinC =sqr(1-cosC^2)=sqr(1-16/25)=sqr(9/25)=3/5
ОС=ОТ/sinC=r*5/3=OK+KC
5/3*r=r+KC
KC=2/3*r
AC=20=2r+2/3*r
8*r/3=20
8r=60
r=60/8
r=7.5 cm
(ABCD) | | OO₁ ; ∠AOB =120° ; OO₁ =10 см ; OH ⊥AB ; OH =2 см .
-------
S_(ABCD) -?
ABCD - прямоугольник
S_(ABCD) =AB*AD = AB* OO₁=10AB . Определим хорду AB .
∆OAB равнобедренный (OA = OB =r) , высота OH одновременно и медиана AH =BH =AB /2 и биссектриса * * * ∠AOH =(1/2)∠AOB =60°.* * *
∠ BAO= ∠ABO = (180° - ∠AOB ) /2 =90°- (1/2)∠AOB =90° -60° = 30° .
OH =OA/2 (катет против угла 30°) ⇒ OA =2*OH =2*2 см = 4 см и
AB = 2* AH = 2* √ (OA² -OH²) =2√ (4² -2²) =4√3 (см) .
* * * можно было сразу AB =2* AH = 2*OH*tq60° * * *
S_(ABCD) =10*4√3 = 40√3 (см ²) .
ответ : 40√3 см ² .