обозначим вершины прямоугольника ABCD с диагоналями АС и ВД, точку их пересечения О, а перпендикуляр ВК, пропорции углов обозначим х и 3х и, так как сумма этих двух углов составляет 90°, составим уравнение:
х+3х=90
4х=90
х=90÷4
х=22,5.
Итак: угол АВК=22,5°, тогда угол КВС=22,5×3=67,5°.
Рассмотрим полученный ∆АВК. Он прямоугольный, угол АВК=22,5°, а так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то угол ВАК=90-22,5=67,5°.
Рассмотрим ∆АВО. Он равнобедренный, поскольку диагонали прямоугольника пересекаясь делятся пополам, поэтому АО=ВО, а АВ- его основание и углы при основании равны:
уголВАО=углу АВО=67,5°. Угол ВАО в ∆АВО и угол ВАК в ∆АВК является общим и равен 67,5°. Тогда угол КВО=67,5-22,5=45°
Центральный угол в развёртке боковой поверхности конуса равен 120°. Высота конуса=4√2. Найдите его объем.
----------
Образующая конуса L- радиус окружности с центром В, частью которой является его развертка АВС.
Формула длины окружности =2πR =2πL, где L- образующая конуса.
Т.к. угол АВС=120°, а полная окружность содержит 360°, длина дуги АС=1/3 длины окружности, содержащей развертку конуса.
◡AC=2πL/3
В то же время дуга АС этой окружности равна длине окружности основания конуса.
2πr=2πL/3 ⇒ L=3r
Из треугольника, образованного высотой конуса и радиуса ( катеты) и образующей ( гипотенуза) найдем по т.Пифагора радиус основания конуса.
L²-r²=h²
9r²-r²=32
r²=32:8=4
V(кон)=πr²•h/3
V=(π4•4√2):3=(π16√2):3
(ед. объёма)
2)
В правильной треугольной пирамиде расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани= m. Боковые грани наклонены к основанию под углом a (альфа). Найдите объем вписанного в пирамиду конуса.
Правильная пирамида МАВС – это пирамида, основанием которой является правильный треугольник АВС, а вершина М пирамиды проецируется в центр О этого треугольника.
Образующей вписанного в пирамиду конуса является апофема пирамиды, а основание этого конуса ограничено окружностью, вписанной в основание пирамиды, т.е. в ∆ АВС.
Радиус конуса равен 1/3 высоты СН правильного треугольника АВС
Расстояние от вершины С основания АВС до грани АМВ - высота треугольника СМН, плоскость которого перпендикулярна грани АМВ и основанию АВС.
Угол α образован прямыми СН и МН, перпендикулярными ребру АВ в точке Н.
угол КВО=45°
Объяснение:
обозначим вершины прямоугольника ABCD с диагоналями АС и ВД, точку их пересечения О, а перпендикуляр ВК, пропорции углов обозначим х и 3х и, так как сумма этих двух углов составляет 90°, составим уравнение:
х+3х=90
4х=90
х=90÷4
х=22,5.
Итак: угол АВК=22,5°, тогда угол КВС=22,5×3=67,5°.
Рассмотрим полученный ∆АВК. Он прямоугольный, угол АВК=22,5°, а так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то угол ВАК=90-22,5=67,5°.
Рассмотрим ∆АВО. Он равнобедренный, поскольку диагонали прямоугольника пересекаясь делятся пополам, поэтому АО=ВО, а АВ- его основание и углы при основании равны:
уголВАО=углу АВО=67,5°. Угол ВАО в ∆АВО и угол ВАК в ∆АВК является общим и равен 67,5°. Тогда угол КВО=67,5-22,5=45°
1)
Центральный угол в развёртке боковой поверхности конуса равен 120°. Высота конуса=4√2. Найдите его объем.
----------
Образующая конуса L- радиус окружности с центром В, частью которой является его развертка АВС.
Формула длины окружности =2πR =2πL, где L- образующая конуса.
Т.к. угол АВС=120°, а полная окружность содержит 360°, длина дуги АС=1/3 длины окружности, содержащей развертку конуса.
◡AC=2πL/3
В то же время дуга АС этой окружности равна длине окружности основания конуса.
2πr=2πL/3 ⇒ L=3r
Из треугольника, образованного высотой конуса и радиуса ( катеты) и образующей ( гипотенуза) найдем по т.Пифагора радиус основания конуса.
L²-r²=h²
9r²-r²=32
r²=32:8=4
V(кон)=πr²•h/3
V=(π4•4√2):3=(π16√2):3
2)
В правильной треугольной пирамиде расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани= m. Боковые грани наклонены к основанию под углом a (альфа). Найдите объем вписанного в пирамиду конуса.
Правильная пирамида МАВС – это пирамида, основанием которой является правильный треугольник АВС, а вершина М пирамиды проецируется в центр О этого треугольника.
Образующей вписанного в пирамиду конуса является апофема пирамиды, а основание этого конуса ограничено окружностью, вписанной в основание пирамиды, т.е. в ∆ АВС.
Радиус конуса равен 1/3 высоты СН правильного треугольника АВС
Расстояние от вершины С основания АВС до грани АМВ - высота треугольника СМН, плоскость которого перпендикулярна грани АМВ и основанию АВС.
Угол α образован прямыми СН и МН, перпендикулярными ребру АВ в точке Н.
r=OН=(КС:sinα):3=(m:sinα):3 =m:3sinα ⇒
высота МО=OH•tgα=(m:3sinα):sinα/cosα=m:3cosα