Найдите длину отрезка MN и координаты его середины, если M (–4; 3) и N (6; –5). Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке F (3; –2) и которая проходит через точку N (5; –9).
Найдите координаты вершины C параллелограмма ABCD, если A (–3; 3), B (–1; 4), D (8; 1).
Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D (3; –4) и B (5; 8).
Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек D (1; 10) и K (7; 8).
Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой у = –6х – 1 и проходит через центр окружности х2 + у2 – 4х + 6у + 5 = 0.
Для решения каждой задачи вам понадобятся определенные знания и навыки. Каждую задачу мы будем решать пошагово, чтобы вы смогли лучше понять процесс решения.
1. Найдите длину отрезка MN и координаты его середины, если M (–4; 3) и N (6; –5).
Для нахождения длины отрезка MN воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек M и N соответственно.
В нашем случае:
x1 = -4, y1 = 3,
x2 = 6, y2 = -5.
Подставляя значения в формулу, получаем:
d = √((6 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2) = √(10^2 + (-8)^2) = √(100 + 64) = √164.
Таким образом, длина отрезка MN равна √164.
Для нахождения координат середины отрезка MN применим формулы:
x_c = (x1 + x2) / 2,
y_c = (y1 + y2) / 2.
Подставляя значения координат точек M и N, получаем:
x_c = (-4 + 6) / 2 = 1,
y_c = (3 + (-5)) / 2 = -1.
Таким образом, координаты середины отрезка MN равны (1, -1).
2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке F (3; –2) и которая проходит через точку N (5; –9).
Уравнение окружности имеет вид:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2,
где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.
В нашем случае координаты центра окружности равны a = 3, b = -2, а также окружность проходит через точку N(5, -9).
Если точка (x, y) лежит на окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Подставим координаты точки N в уравнение окружности:
(5 - 3)^2 + (-9 - (-2))^2 = r^2,
2^2 + (-7)^2 = r^2,
4 + 49 = r^2,
53 = r^2.
Таким образом, радиус окружности равен √53.
Итак, уравнение окружности имеет вид:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 53.
3. Найдите координаты вершины C параллелограмма ABCD, если A (–3; 3), B (–1; 4), D (8; 1).
Чтобы найти координаты вершины C, нужно использовать свойство параллелограмма, согласно которому диагонали параллелограмма делятся пополам.
В нашем случае, точки A, B и D являются вершинами параллелограмма. Положим, что точка C имеет координаты (x, y).
Таким образом, координаты середин диагоналей параллелограмма будут:
x_c1 = (x_a + x_d) / 2,
y_c1 = (y_a + y_d) / 2,
x_c2 = (x_b + x_c) / 2,
y_c2 = (y_b + y_c) / 2.
Подставляя значения координат вершин A, B, D, получаем систему уравнений:
x = (-3 + 8) / 2,
y = (3 + 1) / 2,
x = (-1 + x) / 2,
y = (4 + y) / 2.
Решая эту систему уравнений, получаем:
x = 2.5,
y = 2.
Таким образом, координаты вершины C параллелограмма ABCD равны (2.5, 2).
4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D (3; –4) и B (5; 8).
Уравнение прямой в общем виде имеет вид:
Ax + By + C = 0.
Для нахождения коэффициентов A, B и C воспользуемся следующими формулами:
A = y2 - y1,
B = x1 - x2,
C = x2y1 - x1y2.
В нашем случае точки D и B имеют координаты (3, -4) и (5, 8) соответственно.
Подставляя значения в формулы, получаем:
A = 8 - (-4) = 12,
B = 3 - 5 = -2,
C = 5*(-4) - 3*8 = -20 - 24 = -44.
Итак, уравнение прямой, проходящей через точки D и B, имеет вид:
12x - 2y - 44 = 0.
5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудаленной от точек D (1; 10) и K (7; 8).
Для нахождения координат точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудаленной от точек D и K, нужно найти середину отрезка, соединяющего точки D и K.
Координаты середины отрезка можно найти с помощью формул:
x_m = (x_d + x_k) / 2,
y_m = (y_d + y_k) / 2.
В нашем случае точки D и K имеют координаты (1, 10) и (7, 8) соответственно.
Подставляя значения в формулы, получаем:
x_m = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4,
y_m = (10 + 8) / 2 = 18 / 2 = 9.
Таким образом, координаты искомой точки равны (4, 0).
6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой у = –6х – 1 и проходит через центр окружности х^2 + у^2 – 4х + 6у + 5 = 0.
Для составления уравнения прямой, параллельной данной, нам понадобятся некоторые сведения.
Уравнение прямой в общем виде имеет вид: y = mx + b, где m - коэффициент наклона, b - свободный член.
Для нахождения уравнения прямой, параллельной данной, нужно знать, что у двух параллельных прямых коэффициенты наклона равны.
Получим уравнение прямой у = mx + b для данной прямой:
y = -6x - 1,
m = -6,
b = -1.
Теперь воспользуемся информацией, что прямая, которую мы ищем, должна проходить через центр окружности. Координаты центра окружности равны (3, -2).
Подставляя значения в уравнение прямой, получаем:
-2 = -6 * 3 + b,
-2 = -18 + b,
b = -2 + 18,
b = 16.
Таким образом, уравнение прямой, которая параллельна у = -6х - 1 и проходит через центр окружности х^2 + у^2 - 4х + 6у + 5 = 0, имеет вид:
y = -6x + 16.