найдите координаты точки М, делящей отрезок L в отношении a:b
l = AB
A(2; 4)
B(3; 1)
a = 2
b = 3

Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Точки E, F, M и K - середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. 

а) докажите, что EFMK - параллелограмм. 

А к с и о м а 1.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

С л е д с т в и е 1.

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Соединив отрезками данные точки по три: 

А, В и С – получим ∆ АВС. 

А, D и C – получим ∆ ADC

B, D и С  – получим ∆ BDС

B, D и A – получим ∆  BDA.

Отрезок, соединяющий середины двух его сторон называется средней линией треугольника. 

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

EF – средняя линия треугольника АВС и параллельна основанию АС по определению.

КМ – средняя линия треугольника АDC и параллельна основанию АС по определению.  

EF=AC:2, KM=AC:2 ⇒ EF||KM и EF=KM

То же самое верно для КЕ и МF.

Если противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 

------------------------------

б) найдите периметр EFMK, если AC = 6 см, BD = 8 см

КЕ=MF=BD:2=8:2=4

KM=EF=AC:2=6:2=3

P (KMFE)=2•(3+4)=14 см

Площадь  прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 
Пусть катеты будут а и b . Тогда 
2₽•S ⊿ = ab=420
По т.Пифагора гипотенуза (с)  равна сумме квадратов катетов. 
с²=a²+b²
 Из данных равенств составим систему уравнений. 
|ab=420
|a²+b²=37²
           Домножим первое уравнение на 2 и сложим уравнения. 
|.2ab=840
|.a²+b²=1369
  a²+2ab+b²=2209⇒
(a+b)²=2209
a+b=√2209=47⇒
b=47-a⇒
a•(47-a)=420⇒
a²-47a+420=0
Решив квадратное уравнение, получим два  корня 35 и 12,  один подходит для одного катета, второй - для другого. 
Проверим: 
S=a•b:2=35*12:2=210 см²
35²+12²=1225+144=1369=37²
ответ: Катеты равны 35 см и 12 см