Обозначим сторону квадрата в основании пирамиды за х. Площадь основания So = x². Высота Н = √((6√3)²-(x√2/2)²) = √(108-(x²/2)) = √(216-x²)/√2. Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)x²*√(216-x²)/√2 = x²*√(216-x²)/3√2. Находим производную функции объёма: Для нахождения экстремума приравняем производную нулю. Для этого достаточно приравнять числитель нулю. -х(х²-144) = 0, х = 0 (это значение отбрасываем, объём Vmin = 0). х²-144 = 0 х = +-√144 = +-12.
Найдите площади боковой и полной поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 4 см и боковым ребром 6 см.
Объяснение:
АВСМ-правильная треугольная пирамида, АВС-основание, МА=6см, АС=4 см.
1)S(полн.пр.пир.)=S(осн)+S(бок) ;
S(бок)=1/2*Р(осн)*а, а-апофема,
S(осн)=S(прав. треуг)=(а²√3)/4.
2) S(осн)=(4²√3)/4= 4√3 (см²) ;
3)Пусть ВК⊥АС, тогда ВК-медиана ,т.к треугольник правильный ⇒
АК=2 см.
Т.к. ВК⊥АС, то МК⊥АС по т. о трех перпендикулярах (МО-высота прирамиды). Тогда ΔАМК-прямоугольный, по т. Пифагора
МК=√(АМ²-АК²) , МК=√(36-4)=√32=4√2 (см).
4) Р( осн.)=4*3=12(см) ,
S(бок)=1/2*12*4√2=24√2 (см²)
5)S(полн.пр.пир.)=4√3+24√2 (см²)
Площадь основания So = x².
Высота Н = √((6√3)²-(x√2/2)²) = √(108-(x²/2)) = √(216-x²)/√2.
Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)x²*√(216-x²)/√2 = x²*√(216-x²)/3√2.
Находим производную функции объёма:
Для нахождения экстремума приравняем производную нулю. Для этого достаточно приравнять числитель нулю.
-х(х²-144) = 0,
х = 0 (это значение отбрасываем, объём Vmin = 0).
х²-144 = 0
х = +-√144 = +-12.
Vmax = (1/3)*12²*√(108-(144/2)) = (1/3)*144*√36 = 144*6/3 = 288 куб.ед.