Найдите объем правильной треугольной пирамиды,если ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°,а апофема равна корню из 15 дм.

Проведём осевое сечение через ребро SA и апофему SД.
Получим треугольник ASД с высотой SО.
Основание АД этого треугольника является высотой и медианой h основания пирамиды АВС.
Так как ребро SA наклонено под углом 45° к основанию, то отрезок АО (он равен 2/3 АД) равен высоте SО пирамиды.
Отрезок ОД равен 1/3 АД.
Тогда тангенс угла SДA равен: tgβ = (2/3)/(1/3) = 2.
Синус этого угла равен:
sinβ = tgβ/(√(1+tg²β) = 2/√(1+2²) = 2/√5.
Угол SДA равен arc tg 2 =  1,107149 радиан = 63,43495°.
Угол  АSД равен 180°- 45°- 63,43495° = 71,56505°. 
Воспользуемся теоремой синусов для определения АД.
Синус АSД равен  0,948683.
Тогда АД = (SД/sin 45°)*sin АSД = (√15/(1/√2))*0,948683 =
                =  5,196152 дм.
Сторона основания пирамиды а =АД/cos30° = 
= 5,196152/(√3/2) = 6 дм.
Площадь основания So = a²√3/4 = 36√3/4 = 9√3 дм².
Высота пирамиды H = SO = (2/3)*АД = (2/3)*5,196152 = 
= 3,464102 = 2√3 дм.
Объём пирамиды равен:
 V = (1/3)So*H = (1/3)*9√3* 2√3 = 18 дм³.