Найдите отношение площади наибольшего диагонального сечения правильной шестиугольной призмы к площади его основания, если высота призмы равна стороне основания.
треугольнике ABC AC=CB=10см, угол A=30 градусов, BK- перпендикуляр у плоскости треугольника и равен 5 см. Найти расстояние от K до AC
Рассмотрим образованную пирамиду АВСК. КВ перпендикулярно АВС, значит нам необходимо найти длину высоты, опущенной в грани АСК из вершины К на АС. По теореме о трех перпендикулярах ее проекция на плоскость АВС будет перпендикулярна АС. Обозначим точку пересечения высоты с АС через Н. Тогда нужно найти КН. Рассмотрим основание пирамиды - треугольник АВС. Он равнобедренный АС=ВС=10, с углом у основания А=30 градусов. Опустим высоту из вершины треугольника С на АВ - СМ. Высота, опущенная из точки С, будет и биссектрисой, и медианой треугольника. То есть АМ=МВ. Треугольник АСМ - прямоугольный, с одним из осмтрых углов = 30 градусов, значит катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы: АМ=1/2*АС, АМ=1/2*10=5 (см). По теореме Пифагора найдем второй катет СМ: CM=sqrt(AC2-AM2) CM=sqrt(100-25)=sqrt75=5sqrt3 BH- проекция КН на плоскость основания АВС, и, как было уже отмечено, ВН перпендикулярна АС. Рассм отрим треугольники АНВ и АМС- они подобны: АН/АМ=НВ/МС=АВ/АС НВ/МС=АВ/АС НВ=МС*АВ/АС НВ=5*(2*5sqrt3)/10=5sqrt3 Треугольник КНВ - прямоугольный (КВ перпендикулярно плоскости АВС). По теореме Пифагора найдем КН: KH2=KB2+HB2 KH=sqrt(25+75)=sqrt100=10 (см)
Точка А Точка В Точка С
x y z x y z x y z
1 2 -3 -2 0 4 -1 -2 1
а) Вектор АВ Вектор ВС Вектор АС
x y z x y z x y z
-3 -2 7 1 -2 -3 -2 -4 4
Модуль √62 ≈7,8740 Модуль √14 ≈3,74166 Модуль √36 =6
б) Середины сторон:
Точка А Точка В Точка С
1 2 -3 -2 0 4 -1 -2 1
АВ/2 = ((1-2)/2;(2+0)/2; (-3+4)/2) = (-0,5; 1; 0,5),
ВС/2 = ((-2-1)/2; (0-2)/2; (4+1))/2) = (-1,5; -1; 2,5),
АС/2 = ((1-1)/2; (2-2)/2;(-3+1)/2) = (0; 0; -1).
в) Площадь по формуле Герона.
Периметр Р Полупер. р p - a p - b p - c
17,61567 8,8078 0,9338 5,06618 2,8078
S =10,816654 .
По векторному произведению АВ(-3; -2; 7) на АС(-2; -4; 4)
i j k| i j
-3 -2 7| -3; -2
-2 -4 4| -2 -4 = -8i -14j + 12k + 12j + 28i - 4k = 20i - 2j + 8k.
S = (1/2)*√(400 + 4 + 64) = (1/2)*√468 = (1/2)*6√13 = 3√13 ≈ 10,816654.
Рассмотрим образованную пирамиду АВСК. КВ перпендикулярно АВС, значит нам необходимо найти длину высоты, опущенной в грани АСК из вершины К на АС. По теореме о трех перпендикулярах ее проекция на плоскость АВС будет перпендикулярна АС. Обозначим точку пересечения высоты с АС через Н. Тогда нужно найти КН.
Рассмотрим основание пирамиды - треугольник АВС. Он равнобедренный АС=ВС=10, с углом у основания А=30 градусов. Опустим высоту из вершины треугольника С на АВ - СМ. Высота, опущенная из точки С, будет и биссектрисой, и медианой треугольника. То есть АМ=МВ. Треугольник АСМ - прямоугольный, с одним из осмтрых углов = 30 градусов, значит катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы: АМ=1/2*АС, АМ=1/2*10=5 (см). По теореме Пифагора найдем второй катет СМ:
CM=sqrt(AC2-AM2)
CM=sqrt(100-25)=sqrt75=5sqrt3
BH- проекция КН на плоскость основания АВС, и, как было уже отмечено, ВН перпендикулярна АС. Рассм отрим треугольники АНВ и АМС- они подобны:
АН/АМ=НВ/МС=АВ/АС
НВ/МС=АВ/АС
НВ=МС*АВ/АС
НВ=5*(2*5sqrt3)/10=5sqrt3
Треугольник КНВ - прямоугольный (КВ перпендикулярно плоскости АВС). По теореме Пифагора найдем КН:
KH2=KB2+HB2
KH=sqrt(25+75)=sqrt100=10 (см)