Найдите площадь круга длину ограничивающей его окружности , если сторона правильного треугольника , вписанного в него , равна 16 см

△KCD= SABCD/4
SABCD= (AD+BC)*h/2
AD=2BC
SABCD= 3BC*h/2
△KCD= 3BC*h/8
△KCD= KD*h/2
3BC*h/8 = KD*h/2 <=> KD= 3BC/4
BC= 2
KD= 1,5
AK= 4-1,5 = 2,5
-----
СM - медиана △AСD: AM= 1/2AD =BC
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
СМ=AB
Медиана по трем сторонам: Mc= √(2a^2 + 2b^2 - c^2)/2
CM= √(2AC^2 + 2CD^2 - AD^2)/2
√7= √(2AC^2 + 2CD^2 - 4^2)/2 <=> 7= (AC^2 + CD^2)/2 - 4 <=> AC^2 + CD^2 =22
AD^2= AC^2 + CD^2 -2AC*CD*cos(ACD)
16= AC^2 + CD^2 - AC*CD
16= 22 - AC*CD <=> AC*CD =6 <=> AC= 6/CD
(6/CD)^2 +CD^2 =22 <=> (36 +CD^4 -22CD^2)/CD^2 <=> CD^4 -22CD^2 +36 =0
CD^2= 11+-√85
--
C₁D= 4,4966
C₂D= 1,3343
--
AC₁= 1,3343
AC₂= 4,4966
-----
△AC₁D=△AC₂D (по трем сторонам)
∠C₁DA=∠DAC₂=α
∠AC₁D=∠AC₂D=60
--
sin(60)/4 = sin(α)/AC₁
sin(α) = 0,2165*1,3343 = 0,2889
cos(α)= √[1-0,2889^2] = 0,9573
--
1) △C₁DK: C₁D= 4,4966; KD= 1,5
C₁K^2= C₁D^2 + KD^2 - 2*C₁D*KD*cos(α)
CK^2= 20,2194 + 2,25 - 8,6091*1,5 = 9,5556
C₁K= 3,0912
--
2) △AC₂K: AC₂= 4,4966; AK= 2,5
C₂K^2= AC₂^2 + AK^2 - 2*AC₂*AK*cos(α)
CK^2= 20,2194 + 6,25 - 8,6091*2,5 = 4,9466
C₂K= 2,2241

‍Щоб знайти довжину АС, можемо скористатися теоремою Піфагора та властивостями рівнобедреного трикутника.

За теоремою Піфагора, в прямокутному трикутнику АCD маємо:

AC^2 = AD^2 + CD^2

Також, оскільки АВ = АС, то рівнобедрений трикутник АВС може бути поділений на два прямокутні трикутники АCD та АBD. За властивостями рівнобедреного трикутника, АD є медіаною та висотою, тому CD = BD.

Таким чином, маємо:

AC^2 = AD^2 + CD^2

= AD^2 + BD^2

= AD^2 + (BC/2)^2

= AD^2 + (24/2)^2

= AD^2 + 12^2

= 16 + 144

= 160

Отже, AC^2 = 160. Щоб знайти АС, потрібно взяти квадратний корінь з обох боків:

AC = √160

AC = 4√10

Таким чином, АС ≈ 4√10 см.