А) V = (1/3)*п*(R^2)*H. R - это радиус основания конуса, H - это высота конуса (которая также является и высотой данного равностороннего треугольника). Найдем R и H. Сторона треугольника а = 43 см. В равностороннем треугольнике высота является биссектрисой и медианой, поэтому R = a/2 = (43 см)/2 = 21,5 см. По т. Пифагора R^2 + H^2 = a^2. (a/2)^2 + H^2 = a^2; H^2 = (a^2) - (a/2)^2 = (a^2) - (a^2/4) = (3/4)*(a^2), H = (a/2)*√3. V = (1/3)*п*((a/2)^2)*(a/2)*√3 = (п/3)*(a^3)*(1/8)*√3 = = (п/24)*(43^3)*√3 = (79507/24)*п*√3. б) Шар, равновеликий данному конусу, это шар, который имеет тот же объем, что и данный конус. V = (4/3)*п*r^3, где r - это радиус шара. (4/3)*п*(r^3) = (п/24)*(43^3)*√3, r^3 = (3/4)*(1/24)*(43^3)*√3, r^3 = (43^3)*(√3)/(8*4) .
Разместим квадрат ABCD в координатной плоскости, совместив вершину А с началом координат. Если сторона квадрата равна 4, то координаты точек: A(0 ; 0), B(0 ; 4), C(4 ; 4), D(4 ; 0), P(0 ; 2) т.к. Р - середина АВ. Для нахождения координат точек M и N, составим уравнения прямых AC, BD, PD и PC и найдем координаты их точек пересечения.
АС: y = x BD: y = - x + 4 PD: y = - x/2 + 2 PC: y = x/2 + 2 M = AC∩PD: приравниваем правые части соответствующих уравнений x = - x/2 + 2 3x/2 = 2 x =4/3 y = 4/3 М(4/3 ; 4.3) N = BD∩PC: - x + 4 = x/2 + 2 3x/2 = 2 x = 4/3 y = - 4/3 + 4 = 8/3 N(4/3 ; 8/3) Так как координаты х этих точек одинаковы, то MN║AB. Длина отрезка MN = 8/3 - 4/3 = 4/3 PS - средняя линия ΔABD, следовательно PS║AD, PS = AD/2 = 2 Значит, MN⊥PS.
R - это радиус основания конуса,
H - это высота конуса (которая также является и высотой данного равностороннего треугольника).
Найдем R и H.
Сторона треугольника а = 43 см.
В равностороннем треугольнике высота является биссектрисой и медианой, поэтому
R = a/2 = (43 см)/2 = 21,5 см.
По т. Пифагора
R^2 + H^2 = a^2.
(a/2)^2 + H^2 = a^2;
H^2 = (a^2) - (a/2)^2 = (a^2) - (a^2/4) = (3/4)*(a^2),
H = (a/2)*√3.
V = (1/3)*п*((a/2)^2)*(a/2)*√3 = (п/3)*(a^3)*(1/8)*√3 =
= (п/24)*(43^3)*√3 = (79507/24)*п*√3.
б) Шар, равновеликий данному конусу, это шар, который имеет тот же объем, что и данный конус.
V = (4/3)*п*r^3,
где r - это радиус шара.
(4/3)*п*(r^3) = (п/24)*(43^3)*√3,
r^3 = (3/4)*(1/24)*(43^3)*√3,
r^3 = (43^3)*(√3)/(8*4)
A(0 ; 0), B(0 ; 4), C(4 ; 4), D(4 ; 0), P(0 ; 2) т.к. Р - середина АВ.
Для нахождения координат точек M и N, составим уравнения прямых AC, BD, PD и PC и найдем координаты их точек пересечения.
АС: y = x BD: y = - x + 4 PD: y = - x/2 + 2 PC: y = x/2 + 2
M = AC∩PD: приравниваем правые части соответствующих уравнений
x = - x/2 + 2
3x/2 = 2
x =4/3 y = 4/3
М(4/3 ; 4.3)
N = BD∩PC: - x + 4 = x/2 + 2
3x/2 = 2
x = 4/3 y = - 4/3 + 4 = 8/3
N(4/3 ; 8/3)
Так как координаты х этих точек одинаковы, то MN║AB.
Длина отрезка MN = 8/3 - 4/3 = 4/3
PS - средняя линия ΔABD, следовательно PS║AD, PS = AD/2 = 2
Значит, MN⊥PS.
Spmsn = PS · MN/2 = (2 · 4/3)/2 = 4/3