1. В прямоугольном треугольнике DCE ∠C = 90°, ∠D = 60°, CE = 3 см. Найдите CD и площадь треугольника.
Нужно найти чему равен катет CD.
1) , где а — противолежащий катет, b — прилежащий
Находим площадь ΔDCE:
ответ:
2. В прямоугольном треугольнике PKT ∠T = 90°, KT = 7 см, PT = 7√3 см. Найдите ∠K и гипотенузу треугольника.
По т. Пифагора находим гипотенузу PK:
Находит чему равен ∠K
ответ: PT = 14 см; ∠K = 60°.
3. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 8 см, а высота равна √3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 150°.
Обозначим трапецию за ABCD, меньшее основание за BC = 8 см, высоты за BH и BH' = √3 см, ∠B = 150° (при меньшем основании).
BCHH' — прямоугольник, образованный основами и высотами. Отрезки BC = HH' = 8 см.
Необходимо найти большее основание AD.
Т.к. трапеция равнобокая, угли при основания равны. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°. Поэтому сумма углов при большем основании будет равна:
360−(150°+150°) = 360°−300° = 60°
Значит, угол ∠A = ∠D = 60°/2 = 30°
Р-м ΔABH и ΔDCH': прямоугольные, т.к. образованы высотой трапеции; равные, т.к. трапеция ABCD равнобедренная ⇒ AH = DH'.
Равнобедренный треугольник, основание AC=14.
BH - высота к основанию, является также биссектрисой и медианой.
AH=AC/2 =7 (H - середина AC)
BH =√(AC^2 -AH^2) =24 (теорема Пифагора)
S(ABC) =AC*BH/2 =14*24/2 =168
Центр вписанной окружности (I) - точка пересечения биссектрис.
BI/IH =AB/AH =25/7 (теорема о биссектрисе)
IH =7/32 BH =21/4 =5,25
(IH - расстояние от центра до стороны, то есть радиус)
Центр описанной окружности (O) - точка пересечения серединных перпендикуляров.
M - середина AB, BM=25/2
△OBM~△ABH (по двум углам)
OB/AB =BM/BH
OB =25*25/2*24 =625/48 ~13,02
1. В прямоугольном треугольнике DCE ∠C = 90°, ∠D = 60°, CE = 3 см. Найдите CD и площадь треугольника.
Нужно найти чему равен катет CD.
1) , где а — противолежащий катет, b — прилежащий
Находим площадь ΔDCE:
ответ:
2. В прямоугольном треугольнике PKT ∠T = 90°, KT = 7 см, PT = 7√3 см. Найдите ∠K и гипотенузу треугольника.
По т. Пифагора находим гипотенузу PK:
Находит чему равен ∠K
ответ: PT = 14 см; ∠K = 60°.
3. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 8 см, а высота равна √3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 150°.
Обозначим трапецию за ABCD, меньшее основание за BC = 8 см, высоты за BH и BH' = √3 см, ∠B = 150° (при меньшем основании).
BCHH' — прямоугольник, образованный основами и высотами. Отрезки BC = HH' = 8 см.
Необходимо найти большее основание AD.
Т.к. трапеция равнобокая, угли при основания равны. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°. Поэтому сумма углов при большем основании будет равна:
360−(150°+150°) = 360°−300° = 60°
Значит, угол ∠A = ∠D = 60°/2 = 30°
Р-м ΔABH и ΔDCH': прямоугольные, т.к. образованы высотой трапеции; равные, т.к. трапеция ABCD равнобедренная ⇒ AH = DH'.
Отрезок AH выразим с тангенса угла.
Находим длину большего основания:
Находим площадь трапеции:
ответ: площадь трапеции 11√3 см².