Если угол при основании 45 градусов, то прямоугольный треугольник, где высота трапеции стороной этого треугольника, а бедро трапеции гипотенузой - равнобедренный, так как второй угол этого прямоугольного треугольника тоже 90-45=45 градусов. Значит, кусочек нижнего основания трапеции, отсекаемый ее высотой равен тоже 3 см. Проведем вторую высоту трапеции, тогда получим, что высоты делят большое основание на три части - две по 3 см и одна - как малое основание 5 см. Следовательно, большое основание имеет размер 3+5+3=11 см.
А). Высота пирамиды по Пифагору: SO=√(SB²-BO²) = √(25-81/4) =√19/2.Рассмотрим треугольник ASO и секущую FC в нем. По теореме Менелая имеем:(AF/FS)*(SK/KO)*(OC/CA)=1. Подставим имеющиеся значения, приняв отрезок ОК за Х: (1/4)*((√19/2-Х)/Х)*(1/2)=1. Отсюда Х=√19/18. Заметим, что точка К - пересечение прямых FC и SO. Итак, КО=√19/18. Тогда в треугольнике КЕО: tg(<KEO)=КО/ЕО=КО/(ВО-ВЕ)=(√19/18)/(1/2)=√19/9. В треугольнике OSD тангенс угла SDO: tg(SDO)=SO/OD или tg(SDO)=(√19/2)/(9/2)=√19/9. Итак, в треугольнике EQD углы QED и QDO при основании равны, a <QDO=<SBD в равнобедренном треугольнике ВSD. Следовательно, треугольники ВSD и EQD подобны и EQ параллельна BS. Прямая EQ принадлежит плоскости CEF, значит плоскость CEFпараллельна ребру BS, что и требовалось доказать. б). Треугольники ВSD и EQD подобны (доказано выше), поэтомуEQ/BS=DE/DB, отсюда EQ=BS*DE/DB или EQ=5*5/9=25/9.Тогда в равнобедренном треугольнике EQD высота QH=√(EQ²-(OD/2)²) или QH=√475/18=5√19/18 ≈ 1,2.
SO=√(SB²-BO²) = √(25-81/4) =√19/2.Рассмотрим треугольник ASO и
секущую FC в нем. По теореме Менелая имеем:(AF/FS)*(SK/KO)*(OC/CA)=1.
Подставим имеющиеся значения, приняв отрезок ОК за Х:
(1/4)*((√19/2-Х)/Х)*(1/2)=1. Отсюда Х=√19/18.
Заметим, что точка К - пересечение прямых FC и SO.
Итак, КО=√19/18. Тогда в треугольнике КЕО:
tg(<KEO)=КО/ЕО=КО/(ВО-ВЕ)=(√19/18)/(1/2)=√19/9.
В треугольнике OSD тангенс угла SDO:
tg(SDO)=SO/OD или tg(SDO)=(√19/2)/(9/2)=√19/9.
Итак, в треугольнике EQD углы QED и QDO при основании равны,
a <QDO=<SBD в равнобедренном треугольнике ВSD.
Следовательно, треугольники ВSD и EQD подобны и EQ параллельна BS. Прямая EQ принадлежит плоскости CEF, значит плоскость CEFпараллельна ребру BS, что и требовалось доказать.
б). Треугольники ВSD и EQD подобны (доказано выше), поэтомуEQ/BS=DE/DB, отсюда EQ=BS*DE/DB или EQ=5*5/9=25/9.Тогда в равнобедренном треугольнике EQD высота QH=√(EQ²-(OD/2)²) или QH=√475/18=5√19/18 ≈ 1,2.