Плоскость, параллельная основанию, отсекает от большого конуса малый конус, причем из соотношения 1:2 следует, что высота малого конуса h мал = h, тогда высота большого конуса h бол = 3h. Точно так же радиусы оснований этих конусов Rмал = R, а R бол = 3R. Соотношение радиусов приводит к соотношению площадей основания большого и малого конусов: S мал = S, а S бол = 9S. Объём малого конуса равен: V мал = 1/3 S мал · h мал илиV мал = 1/3 S·h Объём большого конуса равен V бол = 1/3 S бол · h бол илиV бол = 1/3 · 9S · 3h = 1/3 · 27S·h Очевидно, что объём малого конуса в 27 раз меньше объёма большого конуса, т.е. V мал = V бол : 27 = 135 : 27 = 5 ответ: Объём отсечённого конуса равен 5
Вычислить площадь прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к гипотенузе, имеет длину 15 см, а радиус окружности - 4 см ---- Похожую задачу решала на днях.
Ясно, что речь идет о радиусе вписанной окружности; радиус описанной окружности равен медиане прямоугольного треугольника, а она равна 15 см Сделаем рисунок. Обозначим вершины треугольника А, В, С, а точки касания окружности с его сторонами: на АС - К, на СВ-Н, на АВ-М Медиана прямоугольного треугоьника равна половине гипотенузы. Следовательно, АВ=15*2=30 см По свойству касательных из одной точки к окружности ВН=ВМ, АМ=АК, КС=СН=радиусу 4 см Пусть ВН=х Тогда ВМ=х, а АМ=30-х Катет СВ=х+4 Катет АС=АМ+4 АМ=30-х катет АС=30-х+4=34-х По теореме Пифагора выразим квадрат гипотеунзы АВ через сумму квадратов катетов: АВ²=АС²+СВ² 900=(34-х)²+(4+х)² После возведения в квадрат содержимого скобок и приведения подобных членов получим квадратное уравнение 2х²-60х+272=0 или, сократив на 2, х²-30х+136=0 D=b²-4ac=-30²-136=356 Дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня: х₁=(30+2√89):2=15+√89 х₂=(30-2√89):2=15 -√89 Отсюда АС=34-15-√89=19-√89 ВС=4+15+√89=19+√89 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S=(19-√89)(19+√89):2 По формуле сокращенного умножения получим: S=(361-89):2=136 cм² Второй корень тоже подходит, просто катеты поменяются размерами, а площадь получится той же величины.
Соотношение радиусов приводит к соотношению площадей основания большого и малого конусов: S мал = S, а S бол = 9S.
Объём малого конуса равен: V мал = 1/3 S мал · h мал илиV мал = 1/3 S·h
Объём большого конуса равен V бол = 1/3 S бол · h бол илиV бол = 1/3 · 9S · 3h = 1/3 · 27S·h
Очевидно, что объём малого конуса в 27 раз меньше объёма большого конуса, т.е. V мал = V бол : 27 = 135 : 27 = 5
ответ: Объём отсечённого конуса равен 5
----
Похожую задачу решала на днях.
Ясно, что речь идет о радиусе вписанной окружности; радиус описанной окружности равен медиане прямоугольного треугольника, а она равна 15 см
Сделаем рисунок.
Обозначим вершины треугольника А, В, С, а точки касания окружности с его сторонами:
на АС - К,
на СВ-Н,
на АВ-М
Медиана прямоугольного треугоьника равна половине гипотенузы. Следовательно, АВ=15*2=30 см
По свойству касательных из одной точки к окружности
ВН=ВМ,
АМ=АК,
КС=СН=радиусу 4 см
Пусть ВН=х
Тогда ВМ=х, а АМ=30-х
Катет СВ=х+4
Катет АС=АМ+4
АМ=30-х
катет АС=30-х+4=34-х
По теореме Пифагора выразим квадрат гипотеунзы АВ через сумму квадратов катетов:
АВ²=АС²+СВ²
900=(34-х)²+(4+х)²
После возведения в квадрат содержимого скобок и приведения подобных членов получим квадратное уравнение
2х²-60х+272=0
или, сократив на 2,
х²-30х+136=0
D=b²-4ac=-30²-136=356
Дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:
х₁=(30+2√89):2=15+√89
х₂=(30-2√89):2=15 -√89
Отсюда
АС=34-15-√89=19-√89
ВС=4+15+√89=19+√89
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
S=(19-√89)(19+√89):2
По формуле сокращенного умножения получим:
S=(361-89):2=136 cм²
Второй корень тоже подходит, просто катеты поменяются размерами, а площадь получится той же величины.