Найдите расстояние от точки пересечения высот равнобедренного треугольника до его основания, если один из углов треугольника равен 120, а боковая сторона равна 1.

Пусть стороны АВ и ВС треугольника соответственно равны 1 и √15 а его медиана ВМ равна 2.На продолжении медианы BM за точку M отложим отрезок MD, равный BM. Из равенства треугольников ABM и CDM (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство площадей треугольников ABC и BCD. В треугольнике BCD известно, что
ВС=√15; ВD=2ВМ = 2*2=4 ; DС=АВ=1
по формуле герона
р=(√15+4+1)/2=(√15+5)/2
s=√(p(p-BC)(p-BD)(p-DC))=√((√15+5)/2)((√15+5)/2-√15)((√15+5)/2-4)((√15+5)/2-1)=
√((√15+5)/2)((-√15+5)/2)((√15-3)/2)((√15+3)/2)=√(((√15+5)(5-√15)(√15-3)(√15+3))/16)
=√(((25-15)(15-9))/16)=√60/√16=2√15/4
2*3.87/4=1.94

МЕНЯЮ   СИМВОЛ УГЛА ( < на ∠) .

Пусть ΔABC ;  точки касания  M∈ [AB] ,N∈[BC] и K∈[AC]  и  Пусть ∠KMN =α ;∠KNM =β.
∠KMN =180° -(∠KMA +∠NMB) =180° -((180°-∠A)/2 +(180° -<B)/2)) =(∠A+∠B)/2.
∠A+∠B =2α       (1)  ;    * * *  ⇒  ∠A =2α -∠B   * * *
аналогично :
∠C+∠B=2β        (2) .     * * * ⇒   ∠C =2α -∠B   * * *
Суммируем (1) и (2), получим:
(∠A+∠B+∠C )+∠B =2α +2β  ;
180°+∠B=2α +2β   ;
 ∠B =2(α +β) -180°.
поставляя это значение в (1) и (2) соответственно получаем :
∠A =2α - ∠B = 180° -2β ;
∠C =2α - ∠B = 180° -2α .
ответ:  2(α +β) -180°  , 180° -2α , 180° -2β  .
* * * * * * *   комментария    * * * * * * * 
ΔAMK  ,  ΔBMN  равнобедренные.
* * * * * * *   По другому   * * * * * * *
∠AMK =(дугаMK)/2 =(∠MOK)/2 =(180° -∠A)/2.
∠NMB =(дугаMN)/2 =(∠MON)/2 =(180° ∠B)/2.
и т.д.