Дан ромб АВСД. Диагонали d1=AC=3 см , d2=BД=4 см. Точка пересечения диагоналей - О . Найти угол α= ∠АВС. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, поэтому АО=1,5 см , ВО=2 см . Диагонали ромба перпендикулярны , поэтому ∠АОВ=90°. Сторона АВ=√(АО²+ВО²)=√(2²+1,5²)=√6,25=2,5 . Диагонали ромба - биссектрисы,поэтому ∠АВО=α/2 , sin(α/2)=AO/AB=1,5/2,5=15/25/=3/5 . cos(α/2)=BO/AB=2/2,5=20/25=4/5 . sinα=2·sin(α/2)·cos(α/2)=2·3/5·4/5=24/25
Решу в общем виде. Пусть ромб имеет сторону a и диагонали d1 и d2. Тогда a = sqrt((d1/2)^2+(d2/2)^2)=sqrt(d1^2+d2^2)/2. Теперь рассмотрим треугольник, у которого две стороны равны a, третья сторона является d1. Искомый острый угол находится в этом треугольнике между сторонами, равными a. Площадь этого треугольника можно найти двумя 1) S=1/2 * d1 * d2/2 = d1*d2/4 2) S=1/2 * sin(fi) * a * a = 1/2 * sin(fi) * (sqrt(d1^2+d2^2)/2)^2 = 1/2 * sin(fi) * (d1^2+d2^2) / 4=(d1^2+d2^2)*sin(fi)/8 Приравняем их и получим: d1*d2/4=(d1^2+d2^2)*sin(fi)/8, sin(fi)=2*d1*d2/(d1^2+d2^2) Подставим значения: sin(fi)=2*3*4/(3^2+4^2)=24/25
Точка пересечения диагоналей - О .
Найти угол α= ∠АВС.
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам,
поэтому АО=1,5 см , ВО=2 см .
Диагонали ромба перпендикулярны , поэтому ∠АОВ=90°.
Сторона АВ=√(АО²+ВО²)=√(2²+1,5²)=√6,25=2,5 .
Диагонали ромба - биссектрисы,поэтому
∠АВО=α/2 , sin(α/2)=AO/AB=1,5/2,5=15/25/=3/5 .
cos(α/2)=BO/AB=2/2,5=20/25=4/5 .
sinα=2·sin(α/2)·cos(α/2)=2·3/5·4/5=24/25
Теперь рассмотрим треугольник, у которого две стороны равны a, третья сторона является d1. Искомый острый угол находится в этом треугольнике между сторонами, равными a. Площадь этого треугольника можно найти двумя
1) S=1/2 * d1 * d2/2 = d1*d2/4
2) S=1/2 * sin(fi) * a * a = 1/2 * sin(fi) * (sqrt(d1^2+d2^2)/2)^2 = 1/2 * sin(fi) * (d1^2+d2^2) / 4=(d1^2+d2^2)*sin(fi)/8
Приравняем их и получим:
d1*d2/4=(d1^2+d2^2)*sin(fi)/8,
sin(fi)=2*d1*d2/(d1^2+d2^2)
Подставим значения:
sin(fi)=2*3*4/(3^2+4^2)=24/25