В пространстве прямая может лежать в плоскости, а может и не лежать в ней. При этом, если прямая не лежит в плоскости, то по аксиоме прямой и плоскости она не может иметь с этой плоскостью более одной общей точки. Это означает, что плоскость и не лежащая в ней прямая либо имеют одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку, то они пересекаются. А если прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки?
Определение. Прямая и плоскость, не имеющие общей точки, называются параллельными.
Если прямая a и плоскость α параллельны, то записывают a ‖ α или α ‖ a. При этом говорят, что прямая a параллельна плоскости α или плоскость α параллельна прямой a.
При решении стереометрических задач обоснование параллельности прямой и плоскости при только одного определения их параллельности часто затруднительно и не приводит к желаемому результату. В таких случаях пользуются признаками параллельности прямой и плоскости, один из которых выражает следующая теорема.
Теорема 9 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то эти прямая и плоскость параллельны.
Рис. 50
Дано: b ⊂ α, a ‖ b, a ⊄ α (рис. 50).
Доказать: a ‖ α.
Доказательство. Так как прямая b лежит в плоскости α, то (по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плоскость (т. 5)) прямая a, параллельная прямой b, не может пересекать плоскость α; а так как прямая a по условию не лежит в плоскости α, то прямая a параллельна плоскости α. Теорема доказана. ▼
Пусть в тр-ках авс и а (1)в (1)с (1) 1) равны медианы вк и в (1)к (1) , 2) угол авк =углу а (1)в (1)к (1) 3) угол свк = углу с (1)в (1)к (1) доказать, что тр-к авс = тр-ку а (1)в (1)с (1) доказательство в тр-ке авс продолжим медиану вк и отложим км =вк и точку м соединим с точками а и с аналогичные построения сделаем в тр-ке а (1)в (1)с (1), тогда вм =в (1)м (1) 1) тр-к акв =тр-ку скм ( по двум сторонам вк=км и ак=кс и углу между ними -они вертикальные) 2) аналогично тр-к а (1)к (1)в (1) =тр-ку с (1)к (1)м (1) отсюда следует 3) ав=мс =а (1)в (1) =м (1)с (1), < авм = < вмс =< а (1)в (1)м (1) = < в (1)м (1)с (1) 4) тогда тр-к всм = тр-ку в (1)с (1)м (1) по стороне вм =в (1)м (1) и двум прилежащим углам 5) отсюда вс =в (1)с (1) и ав=мс =а (1)в (1) =м (1)с (1), 6) проэтому тр-к авс = тр-ку а (1)в (1)с (1) по двум сторонам и углу между ними второй способ состоит в том, что по теореме " площадь тр-ка равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними выражают стороны ав и вс через медиану вк и углы авк и свк применяя соотношение s (авс) = s (авк) + s (свк) и доказывают, что ав= а (1)в (1) и вс= в (1)с (1)
Параллельность прямой и плоскости
В пространстве прямая может лежать в плоскости, а может и не лежать в ней. При этом, если прямая не лежит в плоскости, то по аксиоме прямой и плоскости она не может иметь с этой плоскостью более одной общей точки. Это означает, что плоскость и не лежащая в ней прямая либо имеют одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку, то они пересекаются. А если прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки?
Определение. Прямая и плоскость, не имеющие общей точки, называются параллельными.
Если прямая a и плоскость α параллельны, то записывают a ‖ α или α ‖ a. При этом говорят, что прямая a параллельна плоскости α или плоскость α параллельна прямой a.
При решении стереометрических задач обоснование параллельности прямой и плоскости при только одного определения их параллельности часто затруднительно и не приводит к желаемому результату. В таких случаях пользуются признаками параллельности прямой и плоскости, один из которых выражает следующая теорема.
Теорема 9 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то эти прямая и плоскость параллельны.
Рис. 50
Дано: b ⊂ α, a ‖ b, a ⊄ α (рис. 50).
Доказать: a ‖ α.
Доказательство. Так как прямая b лежит в плоскости α, то (по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плоскость (т. 5)) прямая a, параллельная прямой b, не может пересекать плоскость α; а так как прямая a по условию не лежит в плоскости α, то прямая a параллельна плоскости α. Теорема доказана. ▼