Найти апофему правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 8дм и 6дм, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов

Окружность проведена через А, следовательно, А лежит на окружности. 

АВ и АD - равные стороны вписанного угла ВАD, поэтому его биссектриса АС проходит через центр окружности и  является её диаметром . 

∠АВС=∠АDC=90°- опираются на диаметр. 

Треугольники АВС и АBD равны по катету и гипотенузе,  поэтому площадь каждого равна половине площади четырехугольника АВСD - равна 1,5√3

Площадь прямоугольного  треугольника  равна половине произведения его катетов. 

S ∆ АВС=АВ•BC:2

BC=2S:AB=3√3):3=√3

ВС:АВ=tg∠ВАС

tg∠BAC=√3):3=1:√3. Это тангенс угла 30°. 

Тогда, так как ∠ВАС=∠DAC, угол ВАD=60°              

* * * 

Если А - центр окружности, результат будет тот же, но решение немного другим Тогда АВ=АС=AD=R

AB+AD=6  AB=AD=AC=6:2=3⇒ R=3

АС - биссектриса. ∠ВАС=∠DAC⇒∆ ABC=∆ ADC  по 1 признаку равенства треугольников. 

S∆ ВАС=S∆DAC= S ABCD:2

sin BAC=2•SBAC:AB²⇒

sin BAC=3√3):9=√3:3=1/√3  - это синус 30°

Тогда, т.к. АС биссектриса, угол ВАD=60° Это ответ. 

----------

Пусть дан треугольник ABC, углы А, B, C, стороны a, b, c;

Теорема синусов:
a/sinA = b/sinB = c/sinC

Теорема косинусов:
a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA; (ну и также для остальных углов)
(короче, похожа на теорему Пифагора, только обобщённую на произвольный треугольник).

Ну вот. Пусть те стороны равны 3х и 8х. Тогда пиши теорему косинусов:
441= 9*х^2+64*x^2-48*x^2*0,5=49*x^2;
x^2 = 9 =>x=3. Тогда две другие стороны равны 9 и 24 соответственно.
Далее по теореме синусов можно было бы найти углы - но этого не требуется.