ΔBO₁A - равнобедренный т.к. BO₁ = AO₁ как радиусы одной окружности, поэтому ∠O₁BA = ∠O₁AB.
ΔCO₂A - равнобедренный т.к. CO₂ = AO₂ как радиусы одной окружности, поэтому ∠O₂СA = ∠O₂AС.
Центры окружностей и их точка касания лежат на одной прямой, A∈O₁O₂.
∠O₁AB = ∠O₂AC как вертикальные.
Получаем, что ∠O₁AB = ∠O₁AB = ∠O₂AC = ∠O₂СA
Откуда ∠O₂СA = ∠O₁AB эти углы являются внутренними накрест лежащими для секущей BC и прямых O₂C, BO₁. Раз они равны, то O₂C║BO₁ ч.т.д.
В равнобедренном треугольника высота проведённая к основанию является и медианой. Если боковая сторона равна а, а острый угол равен α. То основание равно 2а·cosα. Подробнее смотри внизу приложения.
Док-во: Пусть АВС и А1 В1 С1- два треугольника,у которых АВ= А1 В1,угол А = углу А 1 и угол В = В 1. Докажем что треугольники равны. Пусть А 1 В 2 с 2- треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной в 2 на луче А 1 В1 и вершиной С 2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1,где лежит вершинаС 1. Так как А1В2=А1В1 то вершина В 2 совпадает с вершиной В 1. Так как угл В1 А1 С2=угл В1 А1 С1 и угл А1 В1 С2=угл А1 В1 С1,то луч А1С2 совпадает с лучом В1 С1. Отсюда следует ,что вершина С 2 совпадает с вершиной С 1. Итак треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником А1В2С2,а значит , равен треугольнику АВС. Теорема доказана.
ΔBO₁A - равнобедренный т.к. BO₁ = AO₁ как радиусы одной окружности, поэтому ∠O₁BA = ∠O₁AB.
ΔCO₂A - равнобедренный т.к. CO₂ = AO₂ как радиусы одной окружности, поэтому ∠O₂СA = ∠O₂AС.
Центры окружностей и их точка касания лежат на одной прямой, A∈O₁O₂.
∠O₁AB = ∠O₂AC как вертикальные.
Получаем, что ∠O₁AB = ∠O₁AB = ∠O₂AC = ∠O₂СA
Откуда ∠O₂СA = ∠O₁AB эти углы являются внутренними накрест лежащими для секущей BC и прямых O₂C, BO₁. Раз они равны, то O₂C║BO₁ ч.т.д.
В равнобедренном треугольника высота проведённая к основанию является и медианой. Если боковая сторона равна а, а острый угол равен α. То основание равно 2а·cosα. Подробнее смотри внизу приложения.
В ΔBO₁A:
BO₁=5, ∠O₁BA=15° ⇒ AB = 2·BO₁·cos∠O₁BA = 10cos15°
В ΔCO₂A:
CO₂=8, ∠O₂CA=15° ⇒ AC = 2·CO₂·cos∠O₂CA = 16cos15°
BC = AB+AC = 10cos15°+16cos15° = 26cos15°
В ΔBO₂C:
BC=26cos15°, O₂C=8, ∠O₂CB=15°
Тогда S(BO₂C) =
BC·O₂C·sin∠O₂CB = 
26cos15°·8·sin15° = 13·(2sin15°·cos15°)·8/2 = 13·4·sin30° = 13·4/2 = 26
ответ: 26.
sin2x = 2sinx·cosx
Пусть АВС и А1 В1 С1- два треугольника,у которых АВ= А1 В1,угол А = углу А 1 и угол В = В 1. Докажем что треугольники равны.
Пусть А 1 В 2 с 2- треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной в 2 на луче А 1 В1 и вершиной С 2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1,где лежит вершинаС 1.
Так как А1В2=А1В1 то вершина В 2 совпадает с вершиной В 1.
Так как угл В1 А1 С2=угл В1 А1 С1 и угл А1 В1 С2=угл А1 В1 С1,то луч А1С2 совпадает с лучом В1 С1. Отсюда следует ,что вершина С 2 совпадает с вершиной С 1.
Итак треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником А1В2С2,а значит , равен треугольнику АВС. Теорема доказана.