Найти координаты вектора и разложить на a b

∆АНВ ~ ∆CPE (по острому углу <A = <C в равнобедренном ∆АВС) =>

<CEP = <ABH.

<ABH = <CBH = <DBH. (ВН - высота, медиана и биссектриса).

<CDA+<ADB = 180° (смежные) =>  

<CDA+<DBA  = 2<CDE+2<DBH =180°  =>  <CDE+<DBH = 90°.

<CDE= 90 - <DBH = 90 - <ABH. Но <ABH = <CEP (показано выше).

Тогда <CDE =90 - <CEP  или <CEP = 90  - <CDE.  

В прямоугольном треугольнике PDE

PED = 90 - <CDE   =>

<CEP = <PED и треугольник СED - равнобедренный, где ЕР и высота, и медиана, и биссектриса.

Следовательно, точка Е - пересечение прямых АС, ЕР и DE, что и требовалось доказать.

      6 см

Объяснение:

Так как призма прямая, ее высотой является боковое ребро.

Проведем ВK⊥AC. ВK - проекция В₁К на плоскость основания, значит

В₁К⊥АС по теореме о трех перпендикулярах, тогда

∠В₁КВ = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями (АВ₁С) и (АВС).

Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора найдем АС:

АС = √(АВ² + ВС²) = √(48 + 16) = √64 = 8 см

Найдем ВК - высоту прямоугольного треугольника АВС :

Sabc = 1/2 AC · BK = 1/2 AB · BC

BK = AB ·BC / AC = 4√3 · 4 / 8 = 2√3 см

ΔВВ₁К:       tg∠B₁KB = BB₁ / BK

                 BB₁ = BK · tg60° = 2√3 · √3 = 6 см