1) Вот рисунок 1. Углы при основании равнобедренного треугольника a. Угол при вершине b. Биссектриса разбивает угол при основании на два угла a/2. И она пересекает сторону под углом α. Получается треугольник ABD, у которого углы равны a, a, a/2. a + a + a/2 = 180° 2a + 2a + a = 360° 5a = 360° a = 360°/5 = 72° b = 180° - a - a = 180° - 72° - 72° = 36°. ответ: 72°, 72°, 36°.
2) а) Пусть две биссектрисы выходят из основания треугольника. Тогда основание и биссектрисы образуют маленький треугольник, у которого тупой угол 135°. Тогда сумма двух остальных углов равна 180° - 135° = 45°. Но ведь эти углы - есть половины углов большого треугольника. Значит, эти два угла большого треугольника в сумме равны 2*45° = 90°. Значит, третий угол большого треугольника равен 90°, то есть прямой. Таким образом, большой треугольник - прямоугольный.
б) Пусть острый угол пересечения биссектрис равен а, тогда тупой 180°-а. Значит, сумма углов в маленьком треугольнике b1 + b2 = 180° - (180° - а) = а. Но эти маленькие углы есть половины от углов большого треугольника. Поэтому сумма двух углов большого треугольника равна 2а. 2*b1 + 2*b2 = 2a Значит, третий угол большого треугольника равен 180° - 2а. А внешний угол к этому углу равен, соответственно, 2а. То есть вдвое больше, чем острый угол а между биссектрисами.
Оба случая - а) и б) - показаны на 2 рисунке. Для случая а) тупой угол между биссектрисами 180° - a = 135°.
Расстоянием от точки P до прямой BC является перпендикуляр (PE) к этой прямой. Отрезок PE также является наклонной к плоскости, в которой лежит треугольник ABC. Отрезок AE является проекцией наклонной (PE). Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая (BC), проведенная на плоскости через основание (E) наклонной (PE), перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции (AE) ⇒ AE ⊥ BC Т.е. PE является высотой треугольника PBC, проведенной к стороне BC, а AE является высотой треугольника ABC, проведенной к стороне BC. Площадь треугольника ABC: S(ABC) = 1/2 * AE * BC S(ABC) = 1/2 * AE * 7 7/2 * AE = 21 AE = 21 : 7/2 = 21 * 2/7 = 6 (см)
В прямоугольном треугольнике PAE: Гипотенуза PE = 10 cм Катет AE = 6 cм По теореме Пифагора: PE² = AE² + AP² AP² = PE² - AE² AP² = 10² - 6² AP² = 64 AP = 8 (см)
Расстоянием от точки P до плоскости ABC является длина перпендикуляра AP = 8 cм
Угол при вершине b.
Биссектриса разбивает угол при основании на два угла a/2.
И она пересекает сторону под углом α. Получается треугольник ABD, у которого углы равны a, a, a/2.
a + a + a/2 = 180°
2a + 2a + a = 360°
5a = 360°
a = 360°/5 = 72°
b = 180° - a - a = 180° - 72° - 72° = 36°.
ответ: 72°, 72°, 36°.
2) а) Пусть две биссектрисы выходят из основания треугольника.
Тогда основание и биссектрисы образуют маленький треугольник, у которого тупой угол 135°. Тогда сумма двух остальных углов равна
180° - 135° = 45°.
Но ведь эти углы - есть половины углов большого треугольника.
Значит, эти два угла большого треугольника в сумме равны 2*45° = 90°.
Значит, третий угол большого треугольника равен 90°, то есть прямой.
Таким образом, большой треугольник - прямоугольный.
б) Пусть острый угол пересечения биссектрис равен а, тогда тупой 180°-а.
Значит, сумма углов в маленьком треугольнике
b1 + b2 = 180° - (180° - а) = а.
Но эти маленькие углы есть половины от углов большого треугольника.
Поэтому сумма двух углов большого треугольника равна 2а.
2*b1 + 2*b2 = 2a
Значит, третий угол большого треугольника равен 180° - 2а.
А внешний угол к этому углу равен, соответственно, 2а.
То есть вдвое больше, чем острый угол а между биссектрисами.
Оба случая - а) и б) - показаны на 2 рисунке.
Для случая а) тупой угол между биссектрисами 180° - a = 135°.
Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая (BC), проведенная на плоскости через основание (E) наклонной (PE), перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции (AE) ⇒ AE ⊥ BC
Т.е. PE является высотой треугольника PBC, проведенной к стороне BC, а AE является высотой треугольника ABC, проведенной к стороне BC.
Площадь треугольника ABC:
S(ABC) = 1/2 * AE * BC
S(ABC) = 1/2 * AE * 7
7/2 * AE = 21
AE = 21 : 7/2 = 21 * 2/7 = 6 (см)
В прямоугольном треугольнике PAE:
Гипотенуза PE = 10 cм
Катет AE = 6 cм
По теореме Пифагора:
PE² = AE² + AP²
AP² = PE² - AE²
AP² = 10² - 6²
AP² = 64
AP = 8 (см)
Расстоянием от точки P до плоскости ABC является длина перпендикуляра AP = 8 cм