Если провести общую внутреннюю касательную к этим двум окружностям, то она отсечет от треугольника со сторонами a, b, c подобный ему треугольник.Пусть эта прямая пересекает катет a и гипотенузу с. Поскольку радиус вписанной в отсеченный треугольник окружности в √2 раз меньше радиуса окружности, вписанной в исходный треугольник, то и стороны его будут в √2 раз меньше. То есть гипотенузу с эта касательная делит на отрезки a/√2 и c - a/√2; Если продлить эту касательную и катет b до их пересечения, то получится еще один прямоугольный треугольник с радиусом вписанной окружности, таким же, как у отсеченного, то есть равный ему. b/√2 = c - a/√2; или √2 = a/c + b/c = sin(α) + cos(α); решить это тригонометрическое уравнение проще простого (возведением в квадрат), но на самом деле решение сразу видно α = 45°; Это решение было сразу очевидно, но я доказал, что других решений у задачи нет.
1) Формула площади равностороннего треугольника: S=√3*a²/4 = 16√3см². 2) Формула площади ромба через стороны и угол между ними: S=a²*Sinα = 49*Sin30°=49*0,5=24,5. 3) У нас правильный шестиугольник, так как это шестиугольник, все стороны которого равны между собой. Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формуле: S=3√3*а²/2. В нашем случае S=3√3*18²/2 = 486√3см². P.S. в задаче 3) Диагонали не при чем. Тем более, что в правильном шестиугольнике есть длинные и короткие диагонали и речь в данном случае может идти только о длинных диагоналях.
Поскольку радиус вписанной в отсеченный треугольник окружности в √2 раз меньше радиуса окружности, вписанной в исходный треугольник, то и стороны его будут в √2 раз меньше. То есть гипотенузу с эта касательная делит на отрезки a/√2 и c - a/√2;
Если продлить эту касательную и катет b до их пересечения, то получится еще один прямоугольный треугольник с радиусом вписанной окружности, таким же, как у отсеченного, то есть равный ему.
b/√2 = c - a/√2; или √2 = a/c + b/c = sin(α) + cos(α);
решить это тригонометрическое уравнение проще простого (возведением в квадрат), но на самом деле решение сразу видно α = 45°;
Это решение было сразу очевидно, но я доказал, что других решений у задачи нет.
2) Формула площади ромба через стороны и угол между ними:
S=a²*Sinα = 49*Sin30°=49*0,5=24,5.
3) У нас правильный шестиугольник, так как это шестиугольник, все стороны которого равны между собой. Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формуле: S=3√3*а²/2.
В нашем случае S=3√3*18²/2 = 486√3см².
P.S. в задаче 3) Диагонали не при чем. Тем более, что в правильном шестиугольнике есть длинные и короткие диагонали и речь в данном случае может идти только о длинных диагоналях.