Найти объем треугольной пирамиды, отсекаемой плоскостью, проходящей через точки A(1;−3;1),B(−1;−3;−4) и C(4;−4;7), от координатного угла. Если ответ не является целочисленным, запишите его в виде десятичной дроби.
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для объема треугольной пирамиды. Учитывая, что плоскость проходит через точки A, B и C, мы можем использовать их координаты для построения уравнения плоскости.
1. Найдем векторы AB и AC:
AB = B - A = (-1 - 1, -3 - (-3), -4 - 1) = (-2, 0, -5)
AC = C - A = (4 - 1, -4 - (-3), 7 - 1) = (3, -1, 6)
2. Найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение векторов AB и AC:
n = AB × AC = (0 * 6 - (-1) * (-5), -5 * 3 - (-2) * 6, (-2) * (-1) - 0 * 3) = (5, -15, 2)
3. Уравнение плоскости, проходящей через точку A и имеющей нормальный вектор n, можно записать в виде:
5(x - 1) - 15(y - (-3)) + 2(z - 1) = 0.
4. Так как нам нужно найти объем пирамиды, отсекаемой этой плоскостью от координатного угла, нам нужно найти объем только для положительных значений координат x, y и z.
5. Чтобы найти точки пересечения плоскости с осями координат, подставим соответствующие значения для переменных x, y и z и решим уравнение:
Для оси x:
5(x - 1) - 15(0 - (-3)) + 2(0 - 1) = 0
5(x - 1) + 45 + 2 = 0
5(x - 1) = -47
x - 1 = -47/5
x = -47/5 + 1
x = -47/5 + 5/5
x = -42/5
Для оси z:
5(0 - 1) - 15(0 - (-3)) + 2(z - 1) = 0
-5 + 45 + 2(z - 1) = 0
40 + 2(z - 1) = 0
2(z - 1) = -40
z - 1 = -20
z = -20 + 1
z = -19
6. Теперь, когда у нас есть все три точки пересечения с осями координат (x, y, z), мы можем найти объем пирамиды. Формула для объема треугольной пирамиды имеет вид:
Ответ: Объем треугольной пирамиды, отсекаемой плоскостью, проходящей через точки A(1;−3;1), B(−1;−3;−4) и C(4;−4;7), от координатного угла, равен нулю.
1. Найдем векторы AB и AC:
AB = B - A = (-1 - 1, -3 - (-3), -4 - 1) = (-2, 0, -5)
AC = C - A = (4 - 1, -4 - (-3), 7 - 1) = (3, -1, 6)
2. Найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение векторов AB и AC:
n = AB × AC = (0 * 6 - (-1) * (-5), -5 * 3 - (-2) * 6, (-2) * (-1) - 0 * 3) = (5, -15, 2)
3. Уравнение плоскости, проходящей через точку A и имеющей нормальный вектор n, можно записать в виде:
5(x - 1) - 15(y - (-3)) + 2(z - 1) = 0.
4. Так как нам нужно найти объем пирамиды, отсекаемой этой плоскостью от координатного угла, нам нужно найти объем только для положительных значений координат x, y и z.
5. Чтобы найти точки пересечения плоскости с осями координат, подставим соответствующие значения для переменных x, y и z и решим уравнение:
Для оси x:
5(x - 1) - 15(0 - (-3)) + 2(0 - 1) = 0
5(x - 1) + 45 + 2 = 0
5(x - 1) = -47
x - 1 = -47/5
x = -47/5 + 1
x = -47/5 + 5/5
x = -42/5
Для оси y:
5(0 - 1) - 15(y - (-3)) + 2(0 - 1) = 0
-5 - 15(y + 3) - 2 = 0
-5 - 15y - 45 - 2 = 0
-52 - 15y = 0
-15y = 52
y = 52/(-15)
y = -52/15
Для оси z:
5(0 - 1) - 15(0 - (-3)) + 2(z - 1) = 0
-5 + 45 + 2(z - 1) = 0
40 + 2(z - 1) = 0
2(z - 1) = -40
z - 1 = -20
z = -20 + 1
z = -19
6. Теперь, когда у нас есть все три точки пересечения с осями координат (x, y, z), мы можем найти объем пирамиды. Формула для объема треугольной пирамиды имеет вид:
V = (1/6) * |(x1y2z3 + y1z2x3 + z1x2y3) - (z1y2x3 + x1z2y3 + y1x2z3)|,
где x1 = 0, y1 = 0, z1 = 0 (начало координат), x2 = -42/5, y2 = -52/15, z2 = -19 (точка пересечения с осями координат), x3 = 1, y3 = -3, z3 = 1 (точка A).
7. Подставим значения в формулу и решим выражение:
V = (1/6) * |(0*(-52/15)*1 + 0*1*(-19) + 0*(-42/5)*(-3)) - (0*(-19)*(-42/5) + 0*(-52/15)*(-3) + 0*1*(-52/15))|
V = (1/6) * |(-0*52/15 + 0*1*(-19) + 0*(-42/5)*(-3)) - (0*(-19)*(-42/5) + 0*(-52/15)*(-3) + 0*1*(-52/15))|
V = (1/6) * |(0 + 0 + 0) - (0 + 0 + 0)|
V = (1/6) * 0
V = 0.
Ответ: Объем треугольной пирамиды, отсекаемой плоскостью, проходящей через точки A(1;−3;1), B(−1;−3;−4) и C(4;−4;7), от координатного угла, равен нулю.