abcd - трапеция; ad - нижнее основание; bc - верхнее основание; o - точка пересечения диагоналей. ef проходит через точку o и параллельно основаниям. mn проходит через точку o и перпендикулярно основаниям - высота трапеции. e∈ab; f∈cd; m∈bc; n∈ad
тр-к boc подобен тр-ку aod. отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответственных линейных размеров, т.е. сторон и высот. значит, ad: bc=3^: 1; mo: on=1: 3; mo: mn=1: 4;
пусть bc=x⇒ad=3x; mo=y; ⇒on=3y; mn=4y
площадь трапеции abcd равна: s=1/2(ad+bc)*mo=1/2(x+3x)*4y=8xy
выразим через s площади befc и aefd.
площадь aefd равна сумме площадей aofd и aeo.
рассмотрим тр-ки acd и ocf. они подобны. их высоты относятся как 4: 1, а площади как 16: 1. площадь acd равна 1/2*3x*4y=6xy. площадь ocf равна 1/16*6xy=3/8*xy. площадь aofd равна разности площадей acd и ocf:
6xy-3/8*xy=45/8*xy
рассмотрим тр-ки abc и aeo. они подобны. их высоты относятся как 4: 3, а площади как 16: 9. площадь abc равна 1/2*x*4y=2xy. площадь aeo равна 9/16*2xy=9/8*xy. площадь aefd равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy
Объяснение:Симетрі́я (від грец. συμμετρεῖν — міряти разом) — властивість об'єкта відтворювати себе при певних змінах, перетвореннях чи трансформаціях, які називаються операціями симетрії. Розрізняють симетрію тіл, симетрію властивостей і симетрію відношень[1].
Симетрія — передусім геометричне поняття, однак воно застосовується також щодо негеометричних об'єктів у математиці загалом, інших науках: фізиці, хімії, біології, і в інших галузях людської діяльності: філософії, естетиці, соціології, мистецтві тощо.
Відсутність симетрії називають асиметрією. З другого боку, термін антисиметрія описує своєрідний вид симетрії.Витоки симетрії
Витоки поняття симетрії йдуть далеко в минуле до часів Вавилона, Стародавнього Єгипту й Стародавньої Греції. Вже у V-му столітті до н. е. великий філософ і геометр Піфагор вчив: «Число є сутністю усіх речей і організація Всесвіту в її визначеннях являє собою взагалі гармонійну систему чисел та їх відносин»[2]. Цим Піфагор хотів підкреслити найважливішу сторону побудови світу — це його впорядкованість, організованість, симетрію, а значить і красу. Однак аж до XIX-го століття симетрія як самостійний об'єкт дослідження не приваблювала вчених, вона представлялася як щось само собою зрозуміле, загальновідоме, що не підлягає вивченню. У XIX—XX століттях принцип симетрії набув суттєвого значення, особливо у фізиці й математиці.
Людська творчість у всіх своїх проявах тяжіє до симетрії. З цього приводу добре висловився французький архітектор Ле Корбюзьє. У своїй книзі «Архітектура ХХ століття» він писав: «Людині необхідним є порядок, без нього всі її дії втрачають узгодженість, логічний взаємозв'язок. Чим досконалішим є порядок, тим спокійнішою і впевненішою почувається людина. Вона робить умоглядні побудови, ґрунтуючись на порядку, який продиктований їй потребами її психіки, — це творчий процес. Творчість є актом впорядкування»[3].
Симетрія у геометрії
Геометрична фігура симетрична, якщо існують перетворення, при яких її точки змінюють своє розташування на площині або в просторі, однак фігура накладається сама на себе. Якщо частини такої фігури накладаються на інші частини, то ці частини називають симетричними між собою. В залежності від типу перетворень розрізняють різні види симетрії.
abcd - трапеция; ad - нижнее основание; bc - верхнее основание; o - точка пересечения диагоналей. ef проходит через точку o и параллельно основаниям. mn проходит через точку o и перпендикулярно основаниям - высота трапеции. e∈ab; f∈cd; m∈bc; n∈ad
тр-к boc подобен тр-ку aod. отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответственных линейных размеров, т.е. сторон и высот. значит, ad: bc=3^: 1; mo: on=1: 3; mo: mn=1: 4;
пусть bc=x⇒ad=3x; mo=y; ⇒on=3y; mn=4y
площадь трапеции abcd равна: s=1/2(ad+bc)*mo=1/2(x+3x)*4y=8xy
выразим через s площади befc и aefd.
площадь aefd равна сумме площадей aofd и aeo.
рассмотрим тр-ки acd и ocf. они подобны. их высоты относятся как 4: 1, а площади как 16: 1. площадь acd равна 1/2*3x*4y=6xy. площадь ocf равна 1/16*6xy=3/8*xy. площадь aofd равна разности площадей acd и ocf:
6xy-3/8*xy=45/8*xy
рассмотрим тр-ки abc и aeo. они подобны. их высоты относятся как 4: 3, а площади как 16: 9. площадь abc равна 1/2*x*4y=2xy. площадь aeo равна 9/16*2xy=9/8*xy. площадь aefd равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy
площадь befc равна разности площадей abcd и aefd:
8xy-27/4*xy=5/4*xy
s(befc): s(aefd)=5/4*xy: 27/4*xy=5: 27
Объяснение:Симетрі́я (від грец. συμμετρεῖν — міряти разом) — властивість об'єкта відтворювати себе при певних змінах, перетвореннях чи трансформаціях, які називаються операціями симетрії. Розрізняють симетрію тіл, симетрію властивостей і симетрію відношень[1].
Симетрія — передусім геометричне поняття, однак воно застосовується також щодо негеометричних об'єктів у математиці загалом, інших науках: фізиці, хімії, біології, і в інших галузях людської діяльності: філософії, естетиці, соціології, мистецтві тощо.
Відсутність симетрії називають асиметрією. З другого боку, термін антисиметрія описує своєрідний вид симетрії.Витоки симетрії
Витоки поняття симетрії йдуть далеко в минуле до часів Вавилона, Стародавнього Єгипту й Стародавньої Греції. Вже у V-му столітті до н. е. великий філософ і геометр Піфагор вчив: «Число є сутністю усіх речей і організація Всесвіту в її визначеннях являє собою взагалі гармонійну систему чисел та їх відносин»[2]. Цим Піфагор хотів підкреслити найважливішу сторону побудови світу — це його впорядкованість, організованість, симетрію, а значить і красу. Однак аж до XIX-го століття симетрія як самостійний об'єкт дослідження не приваблювала вчених, вона представлялася як щось само собою зрозуміле, загальновідоме, що не підлягає вивченню. У XIX—XX століттях принцип симетрії набув суттєвого значення, особливо у фізиці й математиці.
Людська творчість у всіх своїх проявах тяжіє до симетрії. З цього приводу добре висловився французький архітектор Ле Корбюзьє. У своїй книзі «Архітектура ХХ століття» він писав: «Людині необхідним є порядок, без нього всі її дії втрачають узгодженість, логічний взаємозв'язок. Чим досконалішим є порядок, тим спокійнішою і впевненішою почувається людина. Вона робить умоглядні побудови, ґрунтуючись на порядку, який продиктований їй потребами її психіки, — це творчий процес. Творчість є актом впорядкування»[3].
Симетрія у геометрії
Геометрична фігура симетрична, якщо існують перетворення, при яких її точки змінюють своє розташування на площині або в просторі, однак фігура накладається сама на себе. Якщо частини такої фігури накладаються на інші частини, то ці частини називають симетричними між собою. В залежності від типу перетворень розрізняють різні види симетрії.