Найти периметр треугольника ABC с вершинами А(3;-7;4), В(5;-3;2),С(1;3;-10)​

Проведем биссектрису угла А - АМ.
Так как ∠А = 2∠С, то половинки угла А равны углу С.

Обозначим АВ = а, тогда ВС = а + 2,
ВМ = b, МС = а + 2 - b.

По свойству биссектрисы:
ВМ : МС = АВ : ВС
b : (a + 2 - b) = a : 5
5b = a² + 2a - ab                    (1)

Треугольники СВА и АВМ подобны по двум углам: ∠ВСА = ∠ВАМ, угол В общий.
Из подобия треугольников следует:
СВ : АВ = ВА : ВМ
(a + 2) : a = a : b
a² = b(a + 2)
a² = ab + 2b
ab - a² + 2b = 0                    (2)

Из двух уравнений получаем систему:
a² + 2a - ab = 5b
ab - a² + 2b = 0                       складываем

2a + 2b = 5b
2a = 3b
b = 2a/3                      подставляем в первое

a² + 2a - a·2a/3 = 5·2a/3            умножаем на 3
3a² + 6a - 2a² - 10a = 0
a² - 4a = 0
a(a - 4) = 0
a = 4  или  a = 0 - не подходит по смыслу задачи.

АВ = 4 см
ВС = 4 + 2 = 6 см

Пусть будет трапеция АВСD, BC и AD - основания. Площадь трапеции - это полусумма оснований помноженная на высоту. Высоту не обязательно опускать из вершины. Проведём высоту так, чтобы центр вписанной окружности лежал на ней. Пусть это будет высота НК, О - центр вписанной окружности. Это возможно, если точки Н и К - точки касания окружности с основаниями трапеции (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). Средняя линия трапеции - это полусумма оснований, значит, площадь трапеции можно найти как средняя линия помноженная на высоту. У нас есть длина средней линии - 5, и если площадь - 40, значит, высота НК=40\5=8. НК=ОН+ОК=2ОК => ОК=8\2=4 - радиус вписанной окружности.

ответ: 4.