Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в треугольник круга равен r, а описанного - r.

Показать ответ

Ответ:

dndzanton

01.10.2020 06:35

Прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По теореме Пифагора:
a^2+b^2=c^2

a^2+b^2=c^2

Зная, что гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, запишем:
$a^2+b^2=(2R)^2
\\\
a^2+b^2=4R^2$
Добавим к обеим частям неравенства слагаемое 2аb и преобразуем его в правой части:
$a^2+b^2+2ab=4R^2+ 2ab
\\\
a^2+b^2+2ab=4R^2+ \frac{4ab}{2}$
Так как площадь прямоугольного треугольник равна половине произведения его катетов, то:
$(a+b)^2=4R^2+4S \\\ a+b=2 \sqrt{ R^2+S}
$
Зная, что площадь треугольника равна половине произведения его периметр на радиус вписанной окружности, получим:
$S= \frac{a+b+c}{2}\cdot r$
Подставим вместо а+b и с известные выражения:
$S= \frac{2 \sqrt{ R^2+S}+2R}{2}\cdot r$
Выполняем преобразования:
$\frac{S}{r} = \sqrt{ R^2+S}+R \\\ \frac{S}{r} -R= \sqrt{ R^2+S} \\\$
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{S^2}{r^2}- \frac{2SR}{r} +R^2 =R^2+S$
R² взаимно уничтожается, сокращаем на S:
$\frac{S}{r^2}- \frac{2R}{r} =1$
Домножаем на r:
$S-2Rr =r^2 \\\ \Rightarrow S=2Rr+r^2=r(2R+r)=r(D+r)$
Площадь прямоугольного треугольника равна сумме удвоенного произведения радиусов вписанной и описанной окружности и квадрата радиуса вписанной окружности. (Или: площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на сумму его же с диаметром описанной окружности)
ответ: 2Rr+r²

0,0(0 оценок)

Ответ:

ОверДовн

01.10.2020 06:35

Для решения данной задачи воспользуемся такой теоремой:

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника, делит гипотенузу пополам.

Тогда имеем прямоугольный треугольник со сторонами:

c=2R

Исходя из того что треугольник прямоугольный находим катеты:

a^2+b^2=c^2=4R^2

Так как площадь прямоугольного треугольника равна: $S=\frac{ab}{2}$

получаем ab=2S

тогда (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+4S=4R^2+4S

Получаем:

$a+b=\sqrt{4R^2+4S}$

Зная, что площадь равна: $S=pr=\frac{(a+b+c)}{2}*r$

Получаем: $a+b+c=\frac{2S}{r}$

тогда получаем:

$a+b=\sqrt{4R^2+4S}$

Прибавим с обеих сторон:

$a+b+c=\sqrt{4R^2+4S}+c$

т.к c=2R Получаем:

$a+b+c=\sqrt{4R^2+4S}+2R$

так как $a+b+c=\frac{2S}{r}$

получаем:

$\sqrt{4R^2+4S}+2R=\frac{2S}{r}$

$\sqrt{4R^2+4S}=\frac{2S}{r}-2R$

$4R^2+4S=(\frac{2S}{r}-2R)^2$

$4R^2+4S=\frac{4S^2}{r^2}-\frac{8SR}{r}+4R^2$

$4S=\frac{4S^2}{r^2}-\frac{8SR}{r}$

Делим все на :

$1=\frac{S}{r^2}-\frac{2R}{r}$

r^2=S-2Rr

Откуда получаем:

S=r^2+2Rr

ответ: S=r^2+2Rr

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия

xAlonerx

29.03.2020 05:03

зделать контрольную роботу...

ФЕДЯ456

19.03.2023 08:16

Изобразите сечение тетраэдера ABCD, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра AB и перпендикулярное этому ребру. Найдите его площадь....

Геймеr228

19.03.2023 08:16

Знайдіть сторону АС трикутника АВС , якщо кут А = 45° , кут В = 60° , ВС - 2√5см...

Полина56

28.04.2020 05:15

пятое шестое седьмое за всё!...

рузик83

17.04.2023 04:13

В треугольнике Авс угол В равен 42 ° , а внешний угол при вершине А равен 100°. Найдите угол Авс....

meowth1

29.11.2021 18:43

дано угол аск равно 2×угол Абд угол а равен 45 градусамнайти угол абс...

MadMax22277

05.02.2023 20:07

Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. найдите его стороны , если основание меньше боковой стороны на 3 м....

Sn1KeRS2

09.02.2021 16:14

Втреугольнике авс, угол с=90, ас=5, sin⁡в =0,25. найдите ав....

Пупырка108974891

16.05.2022 18:57

Abc - равнобедренный (ac - основание) ab = bc, угол b = 76 град. o - центр вписанной окружности od и oe радиусы этой окружности (e принадлежит ac, d принадлежит ab) найти:...

murzyatyan

16.01.2021 14:47

Как решить этот пример 0,81: 2,7+4,5*0,12-0,69=...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку