10) Здесь можем провести прямую через точки N и P, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — NP (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.
Продолжим прямую NP. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и P. Еще две прямые этой плоскости — C1D1 и A1D1 . Точка пересечения A1D1 и NP — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости ( DCC1), а значит, через нее и точку M, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая MS пересекает ребро DD1 в точке E. ME — ее след (видимый). Через точки P и E, лежащие в одной плоскости (DCC1), можно провести прямую, след которой — PE (видимый). В плоскости (DCC1) есть прямая PE, в параллельной ей плоскости (ABB1) — точка M. Через точку M можем провести прямую ML, параллельную PE. Она пересекает ребро BB1 в точке L. ML — след этой прямой (невидимый). Точки N и L лежат в одной плоскости (BCC1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — NL (невидимый). Пятиугольник MLNPE — искомое сечение.
3) Здесь точки M и N лежат в одной плоскости ABS, соединяем их, получившийся след MN (видимый). Точки M и P лежат в одной плоскости APS, соединяем их, получаем прямую, след которой MP (невидимый). Точки N и P лежат в одной плоскости ABP, соединяем их, получаем прямую, след которой NP (невидимый). Треугольник NPM - искомое сечение.
Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
Объяснение:
10) Здесь можем провести прямую через точки N и P, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — NP (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.
Продолжим прямую NP. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и P. Еще две прямые этой плоскости — C1D1 и A1D1 . Точка пересечения A1D1 и NP — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости ( DCC1), а значит, через нее и точку M, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая MS пересекает ребро DD1 в точке E. ME — ее след (видимый). Через точки P и E, лежащие в одной плоскости (DCC1), можно провести прямую, след которой — PE (видимый). В плоскости (DCC1) есть прямая PE, в параллельной ей плоскости (ABB1) — точка M. Через точку M можем провести прямую ML, параллельную PE. Она пересекает ребро BB1 в точке L. ML — след этой прямой (невидимый). Точки N и L лежат в одной плоскости (BCC1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — NL (невидимый). Пятиугольник MLNPE — искомое сечение.
3) Здесь точки M и N лежат в одной плоскости ABS, соединяем их, получившийся след MN (видимый). Точки M и P лежат в одной плоскости APS, соединяем их, получаем прямую, след которой MP (невидимый). Точки N и P лежат в одной плоскости ABP, соединяем их, получаем прямую, след которой NP (невидимый). Треугольник NPM - искомое сечение.
Всё просто))) Надеюсь понятно объяснил
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301