Первым шагом для нахождения вершины фокуса и директрисы параболы -2x^2+8x-y-5=0 является перевод этого уравнения в стандартную форму.
Уравнение параболы в общей форме выглядит так: Ax^2 + Bx + Cy + D = 0, где A, B, C, и D - это коэффициенты.
В нашем случае, мы видим, что коэффициент A равен -2, коэффициент B равен 8, коэффициент C равен -1, и коэффициент D равен -5.
Теперь давайте начнем переводить это уравнение в стандартную форму параболы.
1. Сначала вынесите избыточный коэффициент -1 из левой стороны уравнения:
-2x^2 + 8x - y - 5 + 5 = -1 + 5
-2x^2 + 8x - y = 4
2. Чтобы перевести уравнение в стандартную форму, мы хотим разделить коэффициенты x и y на -2. Для этого домножим на -1/2 (половину):
(-1/2)(-2x^2 + 8x - y) = (-1/2)(4)
x^2 - 4x + (1/2)y = -2
3. Теперь мы хотим сгруппировать коэффициенты x в квадрат и просто x в одном слагаемом. Для этого добавим и вычтем коэффициент (B/2A)^2:
x^2 - 4x + 4 - 4 + (1/2)y = -2
4. Теперь можно переписать левую часть уравнения в виде (x - h)^2, где h - координата x вершины параболы:
(x - 2)^2 - 4 + (1/2)y = -2
5. Для приведения уравнения к стандартной форме отдельно перенесем оставшиеся слагаемые на правую сторону:
(x - 2)^2 - 4 + (1/2)y + 4 = -2 + 4
(x - 2)^2 + (1/2)y = 2
Таким образом, мы перевели исходное уравнение в стандартную форму параболы: (x - 2)^2 + (1/2)y = 2.
Теперь, чтобы найти вершину параболы, заметим, что у нас получилось уравнение вида (x - h)^2 + (1/2)y = k, где (h, k) - координаты вершины параболы.
Исходя из этого уравнения, мы видим, что h = 2 и k = 2. Таким образом, координаты вершины параболы равны (2, 2).
Чтобы найти директрису параболы, мы знаем, что директриса находится на расстоянии |p| от вершины параболы, где p - фокусное расстояние.
В данном случае, коэффициент p можно найти по формуле p = 1/(4A). Подставим значение A, полученное из исходного уравнения (A = -2), в эту формулу:
p = 1/(4(-2))
p = 1/(-8)
p = -1/8
Теперь, зная фокусное расстояние p и вершину параболы (h, k), мы можем найти координаты фокуса, где фокус находится на расстоянии p под вершиной параболы.
Для этого, мы просто отнимем p от координаты y вершины параболы (k):
y-координата фокуса = 2 - (-1/8)
= 2 + 1/8
= 17/8
Таким образом, координаты фокуса равны (2, 17/8).
И, наконец, чтобы найти директрису параболы, мы просто отнимаем p от координаты y вершины параболы (k):
y-координата директрисы = 2 + (-1/8)
= 2 - 1/8
= 15/8
Получается, что директриса параболы имеет уравнение y = 15/8.
Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 2), фокус находится в точке (2, 17/8), а директриса имеет уравнение y = 15/8.
Первым шагом для нахождения вершины фокуса и директрисы параболы -2x^2+8x-y-5=0 является перевод этого уравнения в стандартную форму.
Уравнение параболы в общей форме выглядит так: Ax^2 + Bx + Cy + D = 0, где A, B, C, и D - это коэффициенты.
В нашем случае, мы видим, что коэффициент A равен -2, коэффициент B равен 8, коэффициент C равен -1, и коэффициент D равен -5.
Теперь давайте начнем переводить это уравнение в стандартную форму параболы.
1. Сначала вынесите избыточный коэффициент -1 из левой стороны уравнения:
-2x^2 + 8x - y - 5 + 5 = -1 + 5
-2x^2 + 8x - y = 4
2. Чтобы перевести уравнение в стандартную форму, мы хотим разделить коэффициенты x и y на -2. Для этого домножим на -1/2 (половину):
(-1/2)(-2x^2 + 8x - y) = (-1/2)(4)
x^2 - 4x + (1/2)y = -2
3. Теперь мы хотим сгруппировать коэффициенты x в квадрат и просто x в одном слагаемом. Для этого добавим и вычтем коэффициент (B/2A)^2:
x^2 - 4x + 4 - 4 + (1/2)y = -2
4. Теперь можно переписать левую часть уравнения в виде (x - h)^2, где h - координата x вершины параболы:
(x - 2)^2 - 4 + (1/2)y = -2
5. Для приведения уравнения к стандартной форме отдельно перенесем оставшиеся слагаемые на правую сторону:
(x - 2)^2 - 4 + (1/2)y + 4 = -2 + 4
(x - 2)^2 + (1/2)y = 2
Таким образом, мы перевели исходное уравнение в стандартную форму параболы: (x - 2)^2 + (1/2)y = 2.
Теперь, чтобы найти вершину параболы, заметим, что у нас получилось уравнение вида (x - h)^2 + (1/2)y = k, где (h, k) - координаты вершины параболы.
Исходя из этого уравнения, мы видим, что h = 2 и k = 2. Таким образом, координаты вершины параболы равны (2, 2).
Чтобы найти директрису параболы, мы знаем, что директриса находится на расстоянии |p| от вершины параболы, где p - фокусное расстояние.
В данном случае, коэффициент p можно найти по формуле p = 1/(4A). Подставим значение A, полученное из исходного уравнения (A = -2), в эту формулу:
p = 1/(4(-2))
p = 1/(-8)
p = -1/8
Теперь, зная фокусное расстояние p и вершину параболы (h, k), мы можем найти координаты фокуса, где фокус находится на расстоянии p под вершиной параболы.
Для этого, мы просто отнимем p от координаты y вершины параболы (k):
y-координата фокуса = 2 - (-1/8)
= 2 + 1/8
= 17/8
Таким образом, координаты фокуса равны (2, 17/8).
И, наконец, чтобы найти директрису параболы, мы просто отнимаем p от координаты y вершины параболы (k):
y-координата директрисы = 2 + (-1/8)
= 2 - 1/8
= 15/8
Получается, что директриса параболы имеет уравнение y = 15/8.
Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 2), фокус находится в точке (2, 17/8), а директриса имеет уравнение y = 15/8.