Найти высоту пирамиды, боковые рёбра которой равны 13 см, а в основании лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой АВ=10 см, катетами АС = 6 см, и СВ=8 см

В основании правильной пирамиды лежит правильный многоугольник, а основание её высоты лежит в центре основания. 
Все грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники. 
Так как плоский угол при вершине равен 60º, то грани данной пирамиды - правильные треугольники, все её ребра равны. 
Пусть ребро данной пирамиды равно а. 
Тогда диагональ основания ( квадрата АВСД) равна а√2, а ее половина а:√2.
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей  её граней -четырех правильных треугольников со стороной а
Площадь правильного треугольника найдем по формуле
S=a²√3):4
Тогда площадь боковой поверхности
4S=a²√3
Рассмотрим треугольник АОМ. 
Угол АОМ=90º, АО=АС/2=а:√2
По т.Пифагора 
MO² =АМ²-AO²
16=а² -а²/2⇒
а²=32
4S=32√3 см² - площадь боковой поверхности. 

Подробнее - на -

Так как не сказано какая сторона меньше, то у задачи 2 решения
( треугольник равнобедренный = > боковые стороны равны )
1 решение
Пусть боковая сторона равна х ( она же меньшая сторона ), тогда основание равно х+12
Уравнение:
х+х+х+12=45
3х=45-12
3х=33
х=11 см  - боковые стороны, 11+12=23 см - основание
2 решение
Пусть основание равно х ( меньшая сторона ), тогда боковая сторона равна х+12
Уравнение:
х+х+12+х+12=45  
3х+24=45  
3х=21  
х=7 см - основание, тогда 7+12=19 см - боковые стороны
ответ:  1) 11см, 11 см, 23 см
               2) 7см, 19см, 19 см