Дано: MNPK - четырехугольник,
MN║PK, NP║MK,
NA - биссектриса ∠N,
KB - биссектриса ∠К.
Доказать: NA║КB или NA и КВ совпадают.
Доказательство:
Так как в четырехугольнике противолежащие стороны параллельны, то это параллелограмм (по определению).
В параллелограмме противолежащие углы равны
∠N = ∠K, значит равны и их половины:
∠MNA = ∠BNA = ∠РКВ = ∠∠АКВ.
∠РВК = ∠АКВ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых NP и МК секущей КВ, значит
∠РВК = ∠BNA, а эти углы - соответственные при пересечении прямых КВ и NA секущей PN, значит KB║NA.
КВ и NA могут совпадать, если диагональ параллелограмма является биссектрисой углов N и К, т.е. если MNPK ромб.
AO/CO =8/5(O_точка пересечения диагоналей AC и BD) , AB =12 см.
BC -? ; CD -? ; AD -? ; S =S(ABCD) -?
∠BDC =∠BDA (по условию) и
∠BDA =∠DBC (как накрест лежащие углы) ⇒∠BDC =∠DBC ,т.е.ΔBCD
равнобедренный: CB =CD.
ΔAOD ~ΔCOB ⇒AD/CB =AO/CO =8/5.
AD=8k , CB =5k. || тоже CD =CB=5k ||
Проведем CE⊥AD (E∈AD, ABCE -прямоугольник), CF =h =AB =12 см ;
DE=AD-AE=AD - CB =8k-5k =3k .
Из ΔСED по теореме Пифагора :
CD² -DE² = CE² ⇔(5k)² - (3k)² = (3*4)² ⇒k =3.
CD =CB =5k =5*3 =15 (см) , AD =8k =8*3 =24 (см) .
---
S =(AD+BC)/2 *h =(24+15)/2*12 =39*6 =234 (см²) .
Дано: MNPK - четырехугольник,
MN║PK, NP║MK,
NA - биссектриса ∠N,
KB - биссектриса ∠К.
Доказать: NA║КB или NA и КВ совпадают.
Доказательство:
Так как в четырехугольнике противолежащие стороны параллельны, то это параллелограмм (по определению).
В параллелограмме противолежащие углы равны
∠N = ∠K, значит равны и их половины:
∠MNA = ∠BNA = ∠РКВ = ∠∠АКВ.
∠РВК = ∠АКВ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых NP и МК секущей КВ, значит
∠РВК = ∠BNA, а эти углы - соответственные при пересечении прямых КВ и NA секущей PN, значит KB║NA.
КВ и NA могут совпадать, если диагональ параллелограмма является биссектрисой углов N и К, т.е. если MNPK ромб.