Некоторая прямая пересекает стороны BC и AD квадрата ABCD в точках M и N соответственно. Известно, что площади четырехугольников ABMN и MNDS относятка как 5:2. Пусть K-середина AB, L-середина CD, O - точка пересечения прямых MN и KL. Найдите отношение KO:OL.

Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми,  диагональю куба и диагональю основания куба, это расстояние между одной из двух прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
Построим плоскость, проходящую через прямую BD параллельно прямой АС1.
Возьмем точку К - середину отрезка СС1,  АС1 параллельна ОК ( т к ОК средняя линия в треугольнике АСС1).
По признаку параллельности прямой и плоскости АС1 параллельна плоскости BDK. Найдем расстояние между ними, оно рано расстоянию между параллельными прямыми АС1 и ОК.  Опустим перпендикуляр ОН на АС1 и найдем его длину с треугольника АОС1.

1) Так как треугольник равнобедренный - углы при основании равны. Значить угол В равен тоже 43 град. Сумма углов треугольника равен 180. 180 - 43-43=94. Угол N равен 94 градусам.
2) Хорда КM. Диаметр АВ. О - центр окружности. Рассмотрим отрезки ОК и ОМ. Они равны, так как это радиусы. Значит Треугольник ОКМ - равнобедренный, и прямая, проходящая через вершину треугольника является одновременно высотой (перпендикулярна к КМ), медианой (делит МК пополам).
4) Треугольник равнобедренный. Обозначим через х боковые стороны, основание тогда будет х-2. Сумма сторон - периметр. х+х+(х-2)=34  3х=36.х=12. Боковые стороны равны 12, основание - 10.
5) По условию АО = ОВ, СО=ОД. углы СОВ и АОД равны, т.к. они вертикальные. Значит треугольника АОД и СОВ равны, так как равны две стороны и угол  между ними.