Некоторые свойства прямоугольных треугольников. номер 4

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.

кут E=120°

кут F=120°

кут N=60°

кут F=60°

Объяснение:

эта трапеция равнобедренная (NE=FM), это можно сказать ещё с условия задачи

точкой O я пометила точку пересечения EM и NF

они являются диагонали, бисектрисами и и высотами

кут NOM равен 120° за условием, значит кут EOF тоже равен 120° (как вертикальные куты), а кут EON равен 60°

рассмотрим треугольник NOM

в нём кут N=M=(180°-120°)/2=30°

рассмотрим треугольник EOF

в нём кут E=куту F=(180°-120°)/2=30°

рассмотрим треугольник NEO

в треугольнику NEO кут E=90°

значит треугольник прямоугольный

кут O=60°

кут N=30°

продолжим рассматривать трапецию

в ней кут N=куту M=кут ENO+кут ONM=30°+30°=60°

кут E=куту F=кут NEO+кут OEF=90°+30°=120°