Так как длины радиусов - целые числа, то с, a₁ и b₁ должны быть квадратами целых чисел. Наименьший квадрат целого числа, который является суммой квадратов целых чисел, это 25 (25 = 9 + 16) Тогда,
r₁/r = 3/5 r₂/r = 4/5
Так как радиусы должны быть наименьшими, это 3, 4 и 5.
Пусть один угол из них = х, тогда второй острый угол = 90° - х
б) сумма внешних углов = 180°
Для угла = х внешний угол = 180° -х
для другого угла внешний угол = 180° -(90° -х) = 180° - 90° +х= 90° +х
в) (180° - х)/(90° +х) =12/15
(180° - х)/(90° +х) =4/5
5(180° - х) = 4(90° +х)
900 - 5х = 360 + 4х
9х = 540
х = 60° ( это один острый угол данного прямоугольного треугольника)
90° - 60° = 30°( это второй острый угол)
ответ: 60° и 30°
r - радиус окружности, вписанной в большой треугольник,
r₁ - радиус окружности, вписанной в синий треугольник,
r₂ - радиус окружности, вписанной в коричневый треугольник.
Будут использованы формулы:
h² = a₁b₁
a² = a₁c
b² = b₁c
Большой треугольник:
r = (a + b - c)/2 = (√(a₁c) + √(b₁c) - √(c²))/2 = √c·( √a₁ + √b₁ - √c)/2
Синий треугольник:
r₁ = (a₁ + h - a)/2 = (√(a₁)² + √(a₁b₁) - √(a₁c))/2 = √a₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2
Коричневый треугольник:
r₂ = (h + b₁ - b) /2 = (√(a₁b₁) + √(b₁)² - √(b₁c))/2 = √b₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2
r₁/r = √a₁/√c
r₂/r = √b₁/√c
Так как длины радиусов - целые числа, то с, a₁ и b₁ должны быть квадратами целых чисел.
Наименьший квадрат целого числа, который является суммой квадратов целых чисел, это 25 (25 = 9 + 16)
Тогда,
r₁/r = 3/5
r₂/r = 4/5
Так как радиусы должны быть наименьшими, это 3, 4 и 5.