Две прямые, заданные уравнениями и , будут перпендикулярны тогда и только тогда, когда . Коэффициенты и называются угловыми коэффициентами. Мы имеем диагональ , которая лежит на прямой . Приведём уравнение этой прямой в нужный нам вид: . Здесь угловой коэффициент равен . Пусть диагональ лежит на прямой .Тогда, т.к. диагонали в квадрате перпендикулярны, , откуда . Т.е диагональ лежит на прямой . Но мы также знаем, что эта прямая проходит через точку . Исходя из этого составим уравнение: , откуда . Мы получили уравнение прямой, на которой лежит диагональ - это прямая или, что то же самое, .
Теперь к уравнениям сторон.
Две прямые, заданные уравнениями и , пересекаются под углом , тангенс которого равен . Причём при они перпендикулярны. Угол между диагональю и смежной стороной в квадрате равен . Пусть сторона лежит на прямой . Получается, нам нужно, чтобы прямая при пересечении с прямой образовывала угол в . (А сторона лежит на прямой .) Исходя из всего этого, составим и решим уравнение:
Мы получили, что сторона лежит на прямой . Но мы также знаем, что эта прямая проходит через точку . Получаем, что , откуда . Значит, сторона лежит на прямой .
Найдём координаты вершины - это точка пересечения диагонали и стороны :
Получили координаты вершины
Пусть прямая, на которой лежит сторона , имеет вид . Она перпендикулярна прямой, на которой лежит сторона . Отсюда, по вышеприведённому методу, найдём уравнение прямой, на которой лежит сторона :
Получили, что сторона лежит на прямой .
параллельна , отсюда следует, что угловые коэффициенты этих прямых равны. Находим уравнение прямой, на которой лежит сторона :
Получили уравнение : .
Найдём координаты точки :
параллельна , отсюда следует, что угловые коэффициенты этих прямых равны. Находим уравнение стороны CD:
Т.к. E и F - внутренние точки отрезка АВ, и по условию АЕ=BF, то
для EB=AB-AE и для AF=AB-BF следует, что EB=AF.
Рассмотрим прямоугольные ΔADF и ΔВСЕ. У них: 1) АD=BC (противолежащие стороны прямоугольника); 2) AF=EB (по доказанному выше). Значит, ΔADF = ΔВСЕ по двум катетам.
Из равенства этих треугольников следует, что ∠DFA=∠СЕВ. Отсюда, ΔEGF - равнобедренный с основанием EF, тогда GF=GE. Доказан пункт Б).
Т.к. АВСD - прямоугольник, то АВ║CD. Тогда ∠EFG=∠GDC(как накрестлежащие при секущей FD) и ∠FEG=∠GCD (как накрестлежащие при секущей ЕС). Отсюда, ΔDGС - равнобедренный с основанием DC, тогда DG=GC. Доказан пункт A).
Мы имеем диагональ , которая лежит на прямой . Приведём уравнение этой прямой в нужный нам вид:
.
Здесь угловой коэффициент равен .
Пусть диагональ лежит на прямой .Тогда, т.к. диагонали в квадрате перпендикулярны, , откуда . Т.е диагональ лежит на прямой . Но мы также знаем, что эта прямая проходит через точку . Исходя из этого составим уравнение: , откуда . Мы получили уравнение прямой, на которой лежит диагональ - это прямая или, что то же самое, .
Теперь к уравнениям сторон.
Две прямые, заданные уравнениями и , пересекаются под углом , тангенс которого равен . Причём при они перпендикулярны.
Угол между диагональю и смежной стороной в квадрате равен . Пусть сторона лежит на прямой . Получается, нам нужно, чтобы прямая при пересечении с прямой образовывала угол в . (А сторона лежит на прямой .)
Исходя из всего этого, составим и решим уравнение:
Мы получили, что сторона лежит на прямой . Но мы также знаем, что эта прямая проходит через точку . Получаем, что , откуда . Значит, сторона лежит на прямой .
Найдём координаты вершины - это точка пересечения диагонали и стороны :
Получили координаты вершины
Пусть прямая, на которой лежит сторона , имеет вид . Она перпендикулярна прямой, на которой лежит сторона . Отсюда, по вышеприведённому методу, найдём уравнение прямой, на которой лежит сторона :
Получили, что сторона лежит на прямой .
параллельна , отсюда следует, что угловые коэффициенты этих прямых равны. Находим уравнение прямой, на которой лежит сторона :
Получили уравнение : .
Найдём координаты точки :
параллельна , отсюда следует, что угловые коэффициенты этих прямых равны. Находим уравнение стороны CD:
Получили, что сторона лежит на прямой
Рисунок - во вложении.
Т.к. E и F - внутренние точки отрезка АВ, и по условию АЕ=BF, то
для EB=AB-AE и для AF=AB-BF следует, что EB=AF.
Рассмотрим прямоугольные ΔADF и ΔВСЕ. У них: 1) АD=BC (противолежащие стороны прямоугольника); 2) AF=EB (по доказанному выше). Значит, ΔADF = ΔВСЕ по двум катетам.
Из равенства этих треугольников следует, что ∠DFA=∠СЕВ. Отсюда, ΔEGF - равнобедренный с основанием EF, тогда GF=GE. Доказан пункт Б).
Т.к. АВСD - прямоугольник, то АВ║CD. Тогда ∠EFG=∠GDC(как накрестлежащие при секущей FD) и ∠FEG=∠GCD (как накрестлежащие при секущей ЕС). Отсюда, ΔDGС - равнобедренный с основанием DC, тогда DG=GC. Доказан пункт A).