Нужно : окружности радиусов 14 и 77 касаются друг друга внешним образом . определите сторону правильного треугольника, две вершины которого лежат по две на каждой из данных окружностей. (ответ 22)
Значит третья точка будет лежать на пересечения этих окружностей , тогда , пусть угол центральные углы , стягиваемые хорд (стороны треугольника) равны соответственно большего и меньшего , тогда по теореме косинусов (равны потому что треугольник правильный) Проведем общую касательную к этим окружностям , тогда в сумме (угол между секущей и касательной , равен половине дуги стягиваемой хордой ) откуда
Пусть точка касания двух окружностей К , эта одна из вершин , две другие A∈(O₁;R₁) , B ∈ (O₂;R₂) . Длина стороны правильного треугольника обозначаем через x (KA=KB=AB =x). Из ΔO₁KA : x = 2R₁cosα ; Из ΔO₂KB: x =2R₂cosβ ; 2R₁cosα =2R₂cosβ , но α+β +60° =180° ⇒ β =120° -α . R₁cosα = R₂cos(120° -α) ; 14cosα =77(cos120°cosα +sin120°sinα) ; 2cosα = 11( -cosα/2 +√3/2*sinα) ; 4cosα = -11cosα+11√3*sinα ; 15cosα =11√3sinα ; tqα =5√3/11 ⇒ cosα= 1/√(1+tq²α) =1/√(1+(5√3/11)²) =1/√((121+75)/11²) =11/14. окончательно : x = 2R₁cosα =2*14*11/14 =22. ответ: 22.
Значит третья точка будет лежать на пересечения этих окружностей , тогда , пусть угол центральные углы , стягиваемые хорд (стороны треугольника) равны
Проведем общую касательную к этим окружностям , тогда в сумме
откуда
A∈(O₁;R₁) , B ∈ (O₂;R₂) .
Длина стороны правильного треугольника обозначаем через x (KA=KB=AB =x).
Из ΔO₁KA : x = 2R₁cosα ;
Из ΔO₂KB: x =2R₂cosβ ;
2R₁cosα =2R₂cosβ , но α+β +60° =180° ⇒ β =120° -α .
R₁cosα = R₂cos(120° -α) ;
14cosα =77(cos120°cosα +sin120°sinα) ;
2cosα = 11( -cosα/2 +√3/2*sinα) ;
4cosα = -11cosα+11√3*sinα ;
15cosα =11√3sinα ;
tqα =5√3/11 ⇒ cosα= 1/√(1+tq²α) =1/√(1+(5√3/11)²) =1/√((121+75)/11²) =11/14.
окончательно :
x = 2R₁cosα =2*14*11/14 =22.
ответ: 22.