1. Высоту предмета можно определить с шеста с вращающейся планкой.
Для этого планка на шесте устанавливается так, чтобы она указывала на верхнюю точку измеряемого предмета (например, дерева), а по направлению противоположного конца рейки (визуально продолжаем прямую, на которой лежит рейка) отмечается точка пересечения с землей. Используя подобие треугольников, можно вычислить высоту предмета:
На рисунке АВ - измеряемый предмет, СН - шест с планкой, высота которого известна, М - точка пересечения прямой с землей.
ΔМАВ подобен ΔМНС по двум углам (оба треугольника прямоугольные и угол М общий), тогда
АВ : СН = МА : МН
АВ = СН · МА / МН
2. Можно взять шест, длина которого равна росту человека, и расположить расстоянии от измеряемого предмета, чтобы лежа можно было видеть его верхушку и конец шеста на одной прямой. Тогда треугольники получаются равнобедренные и высота предмета будет равна расстоянию от головы человека до основания предмета.
АВ - измеряемый предмет, СН - шест, длина которого равна МН - росту человека.
Аналогично, в солнечную погоду можно вычислить высоту предметы по длине тени от него и от шеста известной длины или по длине собственной тени.
3. Расстояние до недоступной точки можно определить так.
Проводится отрезок АВ известной длины. Измеряются углы, под которыми видна нужная точка (пусть это точка М). Затем в выбранном масштабе строится треугольник A'B'M' по стороне и двум прилежащим к ней углам. Измеряют длину высоты получившегося треугольника и, зная масштаб, вычисляют расстояние до точки.
S полн поверхности = S осн + S бок = пR² + пRl = 144п + 156п = 300п см²
Найдём h, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
a = √(c² - b²) = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 см
Итак, h = 5 см
ответ: 5см, 300п см², 156п см²
Задача 2: 2)
Осевое сечение конуса (если ось плоскость проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота SO делит этот равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника KSO и CSO(их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных треугольников, исходя из того, что △KSC - равнобедренный)
Итак, △KSC - осевое сечение этого конуса.
SO - высота конуса.
MI - высота сечения, параллельного осевому.
△MCI подобен △SCO с коэффициентом подобия k = IC/OC
IC = OC - OI = 6 - 2 = 4 см
Итак, k = 4/6 = 2/3
MI = SO * k = 12 * 2/3 = 8 см
Рассмотрим △OIL:
OL = 6 см - радиус основания конуса.
OI = 2 см, по условию.
Найдём IL, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
a = √(c² - b²) = √(6² - 2²) = √(36 - 4) = √32 = 4√2 см
1. Высоту предмета можно определить с шеста с вращающейся планкой.
Для этого планка на шесте устанавливается так, чтобы она указывала на верхнюю точку измеряемого предмета (например, дерева), а по направлению противоположного конца рейки (визуально продолжаем прямую, на которой лежит рейка) отмечается точка пересечения с землей. Используя подобие треугольников, можно вычислить высоту предмета:
На рисунке АВ - измеряемый предмет, СН - шест с планкой, высота которого известна, М - точка пересечения прямой с землей.
ΔМАВ подобен ΔМНС по двум углам (оба треугольника прямоугольные и угол М общий), тогда
АВ : СН = МА : МН
АВ = СН · МА / МН
2. Можно взять шест, длина которого равна росту человека, и расположить расстоянии от измеряемого предмета, чтобы лежа можно было видеть его верхушку и конец шеста на одной прямой. Тогда треугольники получаются равнобедренные и высота предмета будет равна расстоянию от головы человека до основания предмета.
АВ - измеряемый предмет, СН - шест, длина которого равна МН - росту человека.
Аналогично, в солнечную погоду можно вычислить высоту предметы по длине тени от него и от шеста известной длины или по длине собственной тени.
3. Расстояние до недоступной точки можно определить так.
Проводится отрезок АВ известной длины. Измеряются углы, под которыми видна нужная точка (пусть это точка М). Затем в выбранном масштабе строится треугольник A'B'M' по стороне и двум прилежащим к ней углам. Измеряют длину высоты получившегося треугольника и, зная масштаб, вычисляют расстояние до точки.
S бок = 2пRh = п(2 * 4 * 7) = 56п см²
S полн поверхности = 2пR(R + h) = п(8 * 4 + 8 * 7) = 88п см²
ответ: 56п см², 88п см²
(к 1 задаче рисунка нет)
Задача 1: 2)Так как h (на рисунке ОО1) = 8 см => АВ = CD = h = 8 см
D = 2R = 3 * 2 = 6 см => ВС = AD = D = 6 см
Найдём АС, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
c = √(a² + b²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см
ответ: 10 см.
Задача 1: 3)S бок = 0,5S полн поверхности, по условию.
S полн поверхности = 2S осн + S бок
2S бок = 2S осн+ S бок
S бок = 2S осн
2пRh = 2пR²
h = R
АС = 5 см, по условию.
Найдём радиус R, по теореме Пифагора, а именно составим уравнение:
с² = а² + b²
АС² = CD² + AD²
5² = R² + (2R)²
25 = 5R²
5 = R²
R = √5
Итак, R = √5 см
Мы узнали, что h = R => h = √5 см
=> S полн поверхность = 2пR(R + h) = 2п√(5)(√(5) + √(5)) = 20п см²
ответ: 20п см²
-------------------------------------2. Конус.Задача 2: 1)R = D/2 = 24/2 = 12 см
S бок = пRl = п(12 * 13) = 156п см²
S полн поверхности = S осн + S бок = пR² + пRl = 144п + 156п = 300п см²
Найдём h, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
a = √(c² - b²) = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 см
Итак, h = 5 см
ответ: 5см, 300п см², 156п см²
Задача 2: 2)Осевое сечение конуса (если ось плоскость проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота SO делит этот равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника KSO и CSO(их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных треугольников, исходя из того, что △KSC - равнобедренный)
Итак, △KSC - осевое сечение этого конуса.
SO - высота конуса.
MI - высота сечения, параллельного осевому.
△MCI подобен △SCO с коэффициентом подобия k = IC/OC
IC = OC - OI = 6 - 2 = 4 см
Итак, k = 4/6 = 2/3
MI = SO * k = 12 * 2/3 = 8 см
Рассмотрим △OIL:
OL = 6 см - радиус основания конуса.
OI = 2 см, по условию.
Найдём IL, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
a = √(c² - b²) = √(6² - 2²) = √(36 - 4) = √32 = 4√2 см
S△LMT = 1/2MI * LT = IL * MI = 4√2 * 8 = 32√2 см²
ответ: 32√2 см²
-------------------------------------3. Усечённый конус.Задача 3: 1)NC = 6 см, по условию. (r)
KD = 11 см, по условию.(R)
LD = KD - NC = 11 - 6 = 5 см
Найдём высоту CL, по теореме Пифагора:
с² = а² + b²
a = √(c² - b²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см
Итак, CL = 12 см
S бок = п(R + r) * l = (6 + 11) * 13 = 221п см²
S полн поверхности = п(R + r) * l + пR² + пr² = п(11 + 6) * 13 + п(11)² + п(6)² = 378п см²
ответ: 12 см, 221п см², 378п см².
Задача 3: 2)D = ВС = 14 см, по условию.
D = AD = 48 см, по условию.
R = BT = TC = D/2 = 14/2 = 7 см
R = AK = KD = D/2 = 48/2 = 24 см
TC = 7 см (r)
KD = 24 см (R)
FD = KD - TC = 24 - 7 = 17 см
Рассмотрим △FCD:
он прямоугольный, так как CF - высота..
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
=> ∠FCD = 90˚ - 60˚ = 30˚
Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.
=> CD = 17 * 2 = 34 см
S бок = п(R + r) * l = п(24 + 7) * 34 = 1054п см²
ответ: 1054п см² .