Построим средние линии А1С1, А1В1 и В1С1. Используя свойство средней линии (средняя линия треуг-ка параллельна одной из сторон и равна половине этой стороны), получаем треугольник А1В1С1, стороны которого вдвое меньше соответственных сторон треугольника АВС: А1В1 : АВ = В1С1 : ВС =А1С1 : АС = 1 : 2 Поскольку три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то они подобны. Для подобного треугольника А1В1С1 соотношение сторон будет таким же: 7:8:11. Пусть они будут 7х, 8х и 11х. Зная периметр, запишем: 7х+8х+11х=52 26х=52 х=2 А1В1=7*2=14 см, В1С1=8*2=16 см, А1С1=11*2=22 см
1. Прямая MN пересекает ребро AB в точке P, а ребро CD в точке O (картинка 1).
Если прямая MN параллельна AD (рис. 1), то она параллельна и плоскости АА₁D₁. Секущая плоскость проходит через прямую MN, параллельную АА₁D₁, значит линия пересечения с этой гранью параллельна MN. Достаточно в грани АА₁D₁D провести прямую КТ, параллельную прямой AD, тогда КТ параллельна и MN.
КОРТ – искомое сечение.
Если прямая MN не параллельна AD (рис. 2 и 3)
KO - отрезок сечения. MN∩AD = R R и К лежат в плоскости одной грани. Проводим прямую КR. KR пересекает прямую АA₁ в точке T.
Если эта точка лежит на ребре АА₁ (рис. 2), то KOPT - искомое сечение.
Если же нет, то прямая KR пересечет ребро A₁D₁ в точке Е, а прямая ТР ребро А₁В₁ в точке F. KOPFE – искомое сечение.
2. Прямая MN пересекает ребро AD в точке P и ребро CD в точке O (картинка 2). Точки К, Р и О попарно лежат в одних и тех же гранях. Просто соединяем их. КРО - искомое сечение.
3. Прямая MN пересекает ребро AB в точке P и ребро BC в точке O (картинка 3). PO∩CD = L, PO∩AD = H Точки К и Н лежат в плоскости передней грани. Прямая НК пересекает ребро АА₁ в точке Т Точки К и L лежат в плоскости боковой грани. Прямая KL пересекает ребро СС₁ в точке R. KROPT - искомое сечение.
4. Прямая MN пересекает ребро AD в точке O и ребро АВ в точке Р (картинка 4). OP∩СD = Е, OP∩ВС = F. Точки E и К лежат в плоскости грани AA₁D₁D. Прямая EК пересекает ребро C₁D₁ в точке R и прямую CC₁ в точке Н. Точки Н и F лежат в плоскости задней грани. Прямая HF пересекает прямую В₁С₁ в точке Т.
Если точка Т лежит на ребре В₁С₁, то прямая HF пересечет и ребро ВВ₁ в точке L (рис. 1)
и тогда KOPLTR - искомое сечение.
Если точка Т не лежит на ребре В₁С₁ (рис. 2), то надо провести прямую TR в верхней грани, которая пересечет ребро А₁В₁ в точке L.
А1В1 : АВ = В1С1 : ВС =А1С1 : АС = 1 : 2
Поскольку три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то они подобны. Для подобного треугольника А1В1С1 соотношение сторон будет таким же: 7:8:11. Пусть они будут 7х, 8х и 11х. Зная периметр, запишем:
7х+8х+11х=52
26х=52
х=2
А1В1=7*2=14 см, В1С1=8*2=16 см, А1С1=11*2=22 см
Рассмотрим 4 случая:
1. Прямая MN пересекает ребро AB в точке P, а ребро CD в точке O (картинка 1).
Если прямая MN параллельна AD (рис. 1), то она параллельна и плоскости АА₁D₁. Секущая плоскость проходит через прямую MN, параллельную АА₁D₁, значит линия пересечения с этой гранью параллельна MN. Достаточно в грани АА₁D₁D провести прямую КТ, параллельную прямой AD, тогда КТ параллельна и MN.
КОРТ – искомое сечение.
Если прямая MN не параллельна AD (рис. 2 и 3)
KO - отрезок сечения.
MN∩AD = R
R и К лежат в плоскости одной грани. Проводим прямую КR.
KR пересекает прямую АA₁ в точке T.
Если эта точка лежит на ребре АА₁ (рис. 2), то KOPT - искомое сечение.
Если же нет, то прямая KR пересечет ребро A₁D₁ в точке Е, а прямая ТР ребро А₁В₁ в точке F. KOPFE – искомое сечение.
2. Прямая MN пересекает ребро AD в точке P и ребро CD в точке O (картинка 2).
Точки К, Р и О попарно лежат в одних и тех же гранях. Просто соединяем их.
КРО - искомое сечение.
3. Прямая MN пересекает ребро AB в точке P и ребро BC в точке O (картинка 3).
PO∩CD = L,
PO∩AD = H
Точки К и Н лежат в плоскости передней грани. Прямая НК пересекает ребро АА₁ в точке Т
Точки К и L лежат в плоскости боковой грани. Прямая KL пересекает ребро СС₁ в точке R.
KROPT - искомое сечение.
4. Прямая MN пересекает ребро AD в точке O и ребро АВ в точке Р (картинка 4).
OP∩СD = Е,
OP∩ВС = F.
Точки E и К лежат в плоскости грани AA₁D₁D. Прямая EК пересекает ребро C₁D₁ в точке R и прямую CC₁ в точке Н.
Точки Н и F лежат в плоскости задней грани. Прямая HF пересекает прямую В₁С₁ в точке Т.
Если точка Т лежит на ребре В₁С₁, то прямая HF пересечет и ребро ВВ₁ в точке L (рис. 1)
и тогда KOPLTR - искомое сечение.
Если точка Т не лежит на ребре В₁С₁ (рис. 2), то надо провести прямую TR в верхней грани, которая пересечет ребро А₁В₁ в точке L.
KOPLR- искомое сечение в этом случае.