Есть такая теорема-задача о р/б трапеции с перпендик. диагоналями: ее высота = полусумме оснований. А, значит, площадь = высота в квадрате, т.е.64.
Доказать это утверждение достаточно просто: надо рассмотреть верхний (маленький) и нижний (большой) треуг-ки. Они прямоугольные, р/б (доказывается через р-во боковых треугольников, опирающихся на основание, а потом р-во боковых треугольников, опирающихся на катеты верхнего/аналогично для нижнего тр-ка ). Значит, углы при основании по 45 градусов, и, значит, высота этого тр-ка = половине основания. Т.к. высота трапеции= сумме этих двух высот (из прямоугольных, р/б треуг-в), то получаем, что высота = полусумме оснований.
Треугольник АВС тупоугольный, равнобедренный. Значит большая сторона (АС) - основание, так как углы при основании равны, а в треугольнике не может быть двух тупых углов. Проведем биссектрису АК и высоту АН из угла А при основании треугольника. (проводить их из вершины тупого угла на основание нет смысла, поскольку высота и биссектриса в этом случае равны (равносторонний треугольник). Высота в нашем случае падает на продолжение противоположной боковой стороны ВС. Итак, имеем: <НАК =36°(дано), <АНС=90°, <КАС=0,5*<ВСА (АК-биссектриса <ВАС, а <ВАС=<ВСА=<C). <НАС+<НСА=90° (треугольник НАС - прямоугольный с <АНС=90°), <НАС=<НАК+<КАС. Тогда 36°+(<C/2)+<C =90°, откуда 1,5*<C=90°-36° и <С=36°. Угол В= 180°-2*36° = 108° ответ: Углы треугольника АВС = 36°, 108° и 36°.
Доказать это утверждение достаточно просто: надо рассмотреть верхний (маленький) и нижний (большой) треуг-ки. Они прямоугольные, р/б (доказывается через р-во боковых треугольников, опирающихся на основание, а потом р-во боковых треугольников, опирающихся на катеты верхнего/аналогично для нижнего тр-ка ). Значит, углы при основании по 45 градусов, и, значит, высота этого тр-ка = половине основания. Т.к. высота трапеции= сумме этих двух высот (из прямоугольных, р/б треуг-в), то получаем, что высота = полусумме оснований.
Проведем биссектрису АК и высоту АН из угла А при основании треугольника. (проводить их из вершины тупого угла на основание нет смысла, поскольку высота и биссектриса в этом случае равны (равносторонний треугольник). Высота в нашем случае падает на продолжение противоположной боковой стороны ВС. Итак, имеем: <НАК =36°(дано), <АНС=90°, <КАС=0,5*<ВСА (АК-биссектриса <ВАС, а <ВАС=<ВСА=<C). <НАС+<НСА=90° (треугольник НАС - прямоугольный с <АНС=90°), <НАС=<НАК+<КАС. Тогда 36°+(<C/2)+<C =90°, откуда 1,5*<C=90°-36° и <С=36°. Угол В= 180°-2*36° = 108°
ответ: Углы треугольника АВС = 36°, 108° и 36°.