обозначим вершины 6-угольника, начиная со стороны, равной 4:
АВ=4, ВС=CD=5, DE=6, EF и FA не заданы
площадь 6-угольника можно вычислить как сумму площадей двух треугольников и трапеции... S(6) = S(BCD) + S(ABDE) + S(AEF)
рассмотрим треугольник BCD:
он равнобедренный, угол BCD=120 градусов, => два оставшихся угла по 30 градусов и высота, проведенная к основанию BD, = 2.5
основание BD = 2*(5cos30) = 5*V3
S(BCD) = 2.5*2.5*V3 = 6.25*V3
рассмотрим трапецию ABDE:
углы ABD и BDE равны и составляют 90 градусов (как оставшиеся части углов 6-угольника 120-30=90)
S(ABDE) = ((4+6)/2) * BD = 25*V3
остался треугольник AEF с неизвестными двумя сторонами и углом 120 градусов...
третью его сторону AE можно найти как боковую сторону трапеции по т.Пифагора
AE^2 = 25*3+2*2 = 79
AE = V79
и два других угла в этом треугольнике тоже можно найти...
если угол AED трапеции обозначим x, то можно записать какую-нибудь триг.функцию этого угла из прямоугольного треугольника с гипотенузой AE и катетом параллельным и равным BD: sinx = 5*V3 / V79
угол FEA = 120-x
угол FAE = 180-120-(120-x) = x-60
S(AEF) = AF*FE*sin(120) / 2 = AF*FE*V3/4
по т.синусов можно записать: FE/sin(x-60) = AF/sin(120-x) = AE/sin(120) = 2*V79 / V3
отсюда:
FE = 2*V79*sin(x-60) / V3
AF = 2*V79*sin(120-x) / V3
S(AEF) = 79*sin(x-60)*sin(120-x) / V3
осталось произведение синусов выразить через известный sinx...
2)
т.к. четырехзначные числа кратны 10, то последняя цифра у всех у них должна быть 0
т.е. только три первые цифры изменяются,
а т.к. цифры не повторяются, то 0 в этих первых трех цифрах не должно быть,
и 0 можно не рссматривать вообще,
т.е. мы рассматриваем числа вида авс0, и можно фактически рассматривать задачу только для трехзначных чисел (вида авс)
переформулируем с учетом сказанного:
сколькими можно выбрать три разные цифры из пяти цифр 1,3,5,7,9
формула для размещений (без повторений) из 5 элементов по 3 дает
5!/(5-3)!=3*4*5=60
ответ: 60 чисел
обозначим вершины 6-угольника, начиная со стороны, равной 4:
АВ=4, ВС=CD=5, DE=6, EF и FA не заданы
площадь 6-угольника можно вычислить как сумму площадей двух треугольников и трапеции... S(6) = S(BCD) + S(ABDE) + S(AEF)
рассмотрим треугольник BCD:
он равнобедренный, угол BCD=120 градусов, => два оставшихся угла по 30 градусов и высота, проведенная к основанию BD, = 2.5
основание BD = 2*(5cos30) = 5*V3
S(BCD) = 2.5*2.5*V3 = 6.25*V3
рассмотрим трапецию ABDE:
углы ABD и BDE равны и составляют 90 градусов (как оставшиеся части углов 6-угольника 120-30=90)
S(ABDE) = ((4+6)/2) * BD = 25*V3
остался треугольник AEF с неизвестными двумя сторонами и углом 120 градусов...
третью его сторону AE можно найти как боковую сторону трапеции по т.Пифагора
AE^2 = 25*3+2*2 = 79
AE = V79
и два других угла в этом треугольнике тоже можно найти...
если угол AED трапеции обозначим x, то можно записать какую-нибудь триг.функцию этого угла из прямоугольного треугольника с гипотенузой AE и катетом параллельным и равным BD: sinx = 5*V3 / V79
угол FEA = 120-x
угол FAE = 180-120-(120-x) = x-60
S(AEF) = AF*FE*sin(120) / 2 = AF*FE*V3/4
по т.синусов можно записать: FE/sin(x-60) = AF/sin(120-x) = AE/sin(120) = 2*V79 / V3
отсюда:
FE = 2*V79*sin(x-60) / V3
AF = 2*V79*sin(120-x) / V3
S(AEF) = 79*sin(x-60)*sin(120-x) / V3
осталось произведение синусов выразить через известный sinx...
cosx = корень(1-(sinx)^2) = 2 / V79
sin(x-60) = sinx*cos60 - cosx*sin60 = (sinx - V3*cosx)/2 = 3*V3 / (2*V79)
sin(120-x) = sin120*cosx - cos120*sinx = (sinx + V3*cosx)/2 = 7*V3 / (2*V79)
S(AEF) = 63 / (4*V3) = 21*V3 / 4
S(6) = 6.25*V3 + 25*V3 + 21*V3 / 4 = V3 * (25/4 + 25 + 21/4) = V3 * 36.5