В трапеции основания АД и ВС равны 36 и 12, а сумма углов при основании АД равна 90º
Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СД, если АВ=10
Для успешного решения задачи очень важно сделать правильный рисунок.
Из того, что сумма углов при основании АД равна 90º, следует, что продолжение АВ и СД пересекаются под углом 90º. Достроим трапецию до прямоугольного треугольника АКД Рассмотрим рисунок.
Не составит труда доказать, что треугольники ВКС и АКД - подобны. ∠ К в них - общий,
ВС||АД,
∠ КСВ=∠КДА по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей. Коэффициент подобия АД:ВС=36:12=3 Тогда АК:ВК=3 АК=АВ+ВК (АВ+ВК):ВК=3 (10+ВК):ВК+3
10+ВК=3ВК 2ВК=10 ВК=5 Пусть точка касания окружности и прямой СД будет М Соединим центр О окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М. Так как углы ОМК и АКМ прямые, ОМ и АК - параллелльны. Рассмотрим треугольник АОВ.
Его стороны АО и ОВ, являясь радиусами окружности, равны. Треугольник АОВ - равнобедренный. Проведем в нем высоту ОН.
Эта высота - и медиана ( треугольник ведь равнобедренный).
Дано: Δ АВС - равнобедренный;
<А = <С, точка О пересечение биссектрис АК и СМ.
Доказательство: АК = СМ, т. к. в равнобедренном тр-ке биссектрисы, проведенные к боковым сторонам равны (по теореме);
Четырехугольник АМКС, где СМ и АК - диагонали, Δ АОС равнобедренный , <ОАС = <МАО = <АСО = <КСО = х;
<АОС = <МОС = 180 - х - х = 180 - 2х.
ΔМОК - равнобедренный.
Т.к. АК = МС и АО = ОС , то ОМ = ОК, <ОМК = <ОКМ = (180 - <МОК)/2 = 180 - (180 - 2х)/2 = х, т.е <ОМК = <АСО и <ОАС = <ОКМ.
Если при пересечении двух прямых третьей внутренние разносторонние углы равны, то прямые параллельны (признаки параллельности прямых)
ЧТД
В трапеции основания АД и ВС равны 36 и 12, а сумма углов при основании АД равна 90º
Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СД, если АВ=10
Для успешного решения задачи очень важно сделать правильный рисунок.
Из того, что сумма углов при основании АД равна 90º, следует, что продолжение АВ и СД пересекаются под углом 90º.
Достроим трапецию до прямоугольного треугольника АКД
Рассмотрим рисунок.
Не составит труда доказать, что треугольники ВКС и АКД - подобны.
∠ К в них - общий,
ВС||АД,
∠ КСВ=∠КДА по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей.
Коэффициент подобия АД:ВС=36:12=3
Тогда АК:ВК=3
АК=АВ+ВК
(АВ+ВК):ВК=3
(10+ВК):ВК+3
10+ВК=3ВК
2ВК=10
ВК=5
Пусть точка касания окружности и прямой СД будет М
Соединим центр О окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М.
Так как углы ОМК и АКМ прямые, ОМ и АК - параллелльны.
Рассмотрим треугольник АОВ.
Его стороны АО и ОВ, являясь радиусами окружности, равны.
Треугольник АОВ - равнобедренный.
Проведем в нем высоту ОН.
Эта высота - и медиана ( треугольник ведь равнобедренный).
Следовательно, НВ =5.
Рассмотрим четырехугольник НКМО.
Это прямоугольник с равными сторонами НК=МО.
МО - радиус окружности.
НК=НВ+ВК=5+5=10
МО=НК=10
Радиус окружности равен 10.