Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=4, y=х².
*5 кв. од.
*16/3 кв. од.
*8/3 кв. од.
*1 кв. од.
Криволінійна трапеція це
*геометрична фігура, у якої дві сторони паралельні, а інші дві ні
*геометрична фігура, обмежена графіком функції, прямими х=а та х=b, і віссю оХ
*геометрична фігура, обмежена графіком функції, прямими х=а та х=b, і віссю оY
*геометрична фігура, обмежена графіками функцій
Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=4x, y=0, x=1, x=3.
*4 кв. од.
*8 кв. од.
*12 кв. од.
*16 кв. од.
Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=4, y=0, x=1, x=3.
*2
*4
*8
*12
Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=1, y=-х²+5.
*11 кв. од.
*7/3 кв. од.
*32/3 кв. од.
*16/3 кв. од.
Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=4х, y=0, y= 5-x.
*10 кв. од.
*8 кв.од.
*16 кв.од.
*7 кв. од.
1. Задача: "Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=4, y=х²."
Для начала нам необходимо найти точки пересечения этих двух функций.
Поставим их в равенство: 4 = x².
Решим эту квадратную функцию:
x² = 4.
√x² = √4.
x = ±2.
То есть, получаем две точки пересечения: (2, 4) и (-2, 4).
Далее, нам нужно определить, в каком диапазоне идут значения x. Поскольку функция y = х² – парабола, то она симметрична относительно оси OY. Проходит через вершину O(0, 0) и является ветвями, направленными вверх.
Таким образом, y = х² определена для всех действительных чисел x, а y = 4 – это прямая, параллельная оси ОХ, проходящая на высоте 4.
В итоге, фигура, образованная границами y = 4 и y = х², представляет собой площадь, заключенную между этими двумя графиками и осями OX и OY. Фигура изображается на графике следующим образом:
| *
4 | *
| * *
| * *
| *
~~~~~~~~~~~~~
| 2 | -2
OX
Теперь мы можем посчитать площадь этой фигуры. Для этого необходимо вычислить интеграл от одной функции по оси OX, затем вычесть интеграл от другой функции в том же диапазоне.
Интеграл от функции y = х² вычисляется следующим образом: ∫x² dx = (x³/3) + С.
Интеграл от функции y = 4 вычисляется таким образом: ∫4 dx = 4x + С.
Для определения пределов интегрирования учтем, что точки пересечения (2, 4) и (-2, 4) определяют границы этой площади.
Поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нужно вычислить разность интегралов в пределах от -2 до 2:
S = ∫(x³/3 + 4x)dx, от -2 до 2.
Подставляя пределы интегрирования, получаем: S = ((2³/3) + 4*2) - (((-2)³/3) + 4*(-2)).
Вычисляем значения, выполняя арифметические операции: S = (8/3 + 8) - ((-8/3) - 8).
S = (8 + 24/3) - (-24/3 + 24/3).
S = (8 + 24/3) - 0.
S = 8 + 8.
S = 16.
Ответ: Площадь фигуры, образованной границами y = 4 и y = х², равна 16 квадратным единицам.
2. Задача: "Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=4x, y=0, x=1, x=3."
В этой задаче нам нужно посчитать площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x, y = 0, x = 1 и x = 3.
График функции y = 4x представляет собой прямую линию, которая проходит через точку (0, 0) и имеет угол наклона 4 к оси OX.
Оси OY и OX образуют прямоугольный треугольник. Чтобы вычислить площадь фигуры, необходимо разделить этот треугольник на две прямоугольные трапеции.
Площадь каждой прямоугольной трапеции вычисляется по формуле: S = (a + b) * h / 2,
где a и b – длины оснований, а h – высота трапеции.
Первая прямоугольная трапеция образуется линиями y = 4x и y = 0, осью OX и линией x = 1.
Для вычисления площади этой трапеции заметим, что основание a = 1 (линия x = 1) и основание b = 0 (линия y = 0). Высота h = 4(1) - 0 = 4.
Подставим значения в формулу площади трапеции: S₁ = (1 + 0) * 4 / 2 = 2 * 4 / 2 = 4 / 2 = 2.
Вторая прямоугольная трапеция образуется линиями y = 4x, y = 0, осью OX и линией x = 3.
Для вычисления площади этой трапеции заметим, что основание a = 3 (линия x = 3) и основание b = 0 (линия y = 0). Высота h = 4(3) - 0 = 12.
Подставим значения в формулу площади трапеции: S₂ = (3 + 0) * 12 / 2 = 3 * 12 / 2 = 36 / 2 = 18.
Чтобы найти площадь области, ограниченной линиями y = 4x, y = 0, x = 1 и x = 3, нужно сложить площади обеих прямоугольных трапеций:
S = S₁ + S₂ = 2 + 18 = 20.
Ответ: Площадь фигуры, образованной границами y = 4x, y = 0, x = 1 и x = 3, равна 20 квадратным единицам.
3. Задача: "Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=4, y=0, x=1, x=3."
В данной задаче нам нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4, y = 0, x = 1 и x = 3.
Функция y = 4 представляет собой горизонтальную прямую, проходящую на высоте 4. Линия y = 0 – это ось OX.
График этой фигуры является прямоугольником.
Чтобы найти его площадь, необходимо умножить длину оси OX на высоту.
Длина оси OX - это разница между координатами x = 3 и x = 1: 3 - 1 = 2.
Высота прямоугольника - это разница между координатами y = 4 и y = 0: 4 - 0 = 4.
Подставим значения в формулу площади прямоугольника: S = длина * высота = 2 * 4 = 8.
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4, y = 0, x = 1 и x = 3, равна 8 квадратным единицам.
4. Задача: "Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=1, y=-х²+5."
В этой задаче нам нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 и y = -х² + 5.
Линия y = 1 представляет собой горизонтальную прямую, проходящую на высоте 1.
График функции y = -х² + 5 представляет собой параболу с вершиной на высоте 5 и направленной вниз.
Точки пересечения функций y = 1 и y = -х² + 5 можно найти, поставив их в равенство:
1 = -х² + 5.
-х² = -4.
х² = 4.
x = ±2.
То есть, у нас есть две точки пересечения: (2, 1) и (-2, 1).
На графике это будет выглядеть следующим образом:
| *
5 | *
| * *
| *
1 | * *
| * * *
|________________
-2 2
OX
Фигура, образованная границами y = 1 и y = -х² + 5, заключена между этими двумя графиками и осью OX.
Для вычисления площади этой фигуры, сначала нужно определить пределы интегрирования. Так как точки пересечения – это (2, 1) и (-2, 1), то нам нужно вычислить интеграл от одной функции по оси OX, затем вычесть интеграл от другой функции в том же диапазоне.
Функция y = 1 – это прямая, поэтому для нее можно вычислить значение интеграла просто подставив пределы.
Интеграл от y = 1 равен: ∫1 dx = x + C.
Функцию y = -х² + 5 можно вычислить, применив формулу ∫f(x) dx, где f(x) = -х² + 5.
∫(-х² + 5) dx = (-(х³/3) + 5x) + C.
Теперь подставим пределы интегрирования – значение x = 2 и x = -2 – в оба интеграла и найдем разность:
S = ∫(x + 1) dx, от -2 до 2.
S₁ = (2 + 1) - ((-2) + 1) = 3 - (-1) = 4.
S = ∫(-(х³/3) + 5x) dx, от -2 до 2.
S₂ = (-(2³/3) + 5(2)) - ((-(-2)³/3) + 5(-2)).
S₂ = (-8/3 + 10) - ((-8/3) + (-10)).
S₂ = (10 - 8/3) - (-8/3 -10).
S₂ = (30/3 - 8/3) - (-28/3).
S₂ = 22/3 + 28/3.
S₂ = 50/3.
S = S₁ - S₂ = 4 - 50/3 = 12/3 - 50/3 = -38/3.
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 и y = -х² + 5, равна -38/3 квадратным единицам.