В трапеции ABCD боковая сторона AB равна диагонали BD. Точка M - середина диагонали AC. Прямая BM пересекает прямую CD в точке E. Докажите, что BE = CE.
Объяснение:
К - точка пересечения прямой ВМ с основанием AD.
Рассмотрим треугольники АМК и СМВ:
АМ = МС по условию,
∠АМК = ∠СМВ как вертикальные,
∠МАК = ∠МСВ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АК и ВС секущей АС, ⇒
ΔАМК = ΔСМВ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Следовательно, АК = ВС.
Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
Значит, АВСК параллелограмм. ⇒ СК = АВ.
АВ = BD по условию, ⇒ СК = BD.
В трапеции KBCD диагонали равны, значит она равнобедренная.
Тогда ∠BKD = ∠CDK.
∠ЕВС = ∠BKD и ∠ЕСВ = ∠CDK как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых KD и ВС секущими EК и ED соответственно, ⇒
∠EBC = ∠ECB.
Из этого следует, что треугольник ЕВС равнобедренный и
Проведем МА⊥α и МВ⊥β. МА = 12 - расстояние от М до α, МВ = 16 - расстояние от М до β.
Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С. МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а. МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а. Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒ а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла; а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.
В трапеции ABCD боковая сторона AB равна диагонали BD. Точка M - середина диагонали AC. Прямая BM пересекает прямую CD в точке E. Докажите, что BE = CE.
Объяснение:
К - точка пересечения прямой ВМ с основанием AD.
Рассмотрим треугольники АМК и СМВ:
АМ = МС по условию,
∠АМК = ∠СМВ как вертикальные,
∠МАК = ∠МСВ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АК и ВС секущей АС, ⇒
ΔАМК = ΔСМВ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Следовательно, АК = ВС.
Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
Значит, АВСК параллелограмм. ⇒ СК = АВ.
АВ = BD по условию, ⇒ СК = BD.
В трапеции KBCD диагонали равны, значит она равнобедренная.
Тогда ∠BKD = ∠CDK.
∠ЕВС = ∠BKD и ∠ЕСВ = ∠CDK как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых KD и ВС секущими EК и ED соответственно, ⇒
∠EBC = ∠ECB.
Из этого следует, что треугольник ЕВС равнобедренный и
ВЕ = СЕ.
МА = 12 - расстояние от М до α,
МВ = 16 - расстояние от М до β.
Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С.
МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а.
МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а.
Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒
а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла;
а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.
МАСВ - прямоугольник, АС = МВ = 16.
Из прямоугольного треугольника АМС по теореме Пифагора:
МС = √(МА² + АС²) = √(16² + 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20