образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 45. радиус большего основания усеченного конуса равен 2 см. найдите радиус меньшего основания этого усеченного конуса
Так как A внутри BCD, AB=AD, то BAD - тоже равнобедренный треугольник, и у него общее с BCD основание BD. Поставим точку K так, что BK=KD, тогда KC - медиана BCD, KA - медиана BAD. Докажем второй пункт. Как известно, высота равнобедренного треугольника совпадает с его медианой и биссектрисой и является его осью симметрии. Также, любые два равнобедренных треугольника, построенные на одном основании, обладают общей осью симметрии и, как следствие, общей высотой/медианой/биссектрисой. Тогда получаем, что KA⊂KC и все три точки лежат на KC. Это автоматически доказывает первый пункт, т.к. непонятные ∠ACB и ∠ACD превращаются в углы при биссектрисе ∠KCB=∠KCD, которые равны между собой.
Решение.
ΔАВС , АС=7 см , ∠В=120° , Р=15 см .
Найти меньшую из неизвестных сторон .
Обозначит х=АВ , у=ВС .
По теореме косинусов имеем:
Так как периметр Р=х+у+7 , то х+у=Р-7 , х+у=15-7 , х+у=8 (см) .
По формуле квадрата суммы получим
Подставим в уравнение (*) выражение для х²+у² :
Теперь решим систему.
Корни уравнения
нашли по теореме Виета .
Итак, нашли две неизвестные стороны треугольника АВ и ВС .
Либо АВ=3 см , ВС=5 см , либо АВ=5 см , ВС =3 см .
ответ: меньшая из неизвестных сторон равна 3 см .
Докажем второй пункт. Как известно, высота равнобедренного треугольника совпадает с его медианой и биссектрисой и является его осью симметрии. Также, любые два равнобедренных треугольника, построенные на одном основании, обладают общей осью симметрии и, как следствие, общей высотой/медианой/биссектрисой. Тогда получаем, что KA⊂KC и все три точки лежат на KC.
Это автоматически доказывает первый пункт, т.к. непонятные ∠ACB и ∠ACD превращаются в углы при биссектрисе ∠KCB=∠KCD, которые равны между собой.