ОЧЕНЬ НАДО! Решение должно быть полным, с пояснениями, которые опираются на уже изученные факты, формулы, определения, аксиомы, теоремы и следствия из них.
Задание 1.
Изобразите прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Выпишите и отметьте на рисунке:
а) пару равных векторов ( );
б) пару коллинеарных сонаправленных векторов ( );
в) пару ортогональных (перпендикулярных) векторов ( );
г) тройку компланарных векторов ( ).
Задание 2.
Заданы векторы: Screenshot_1.jpg
Существует ли такое значение k, при котором:
а) заданные векторы коллинеарны ( );
б) угол между этими векторами равен 90° ( ).
Если да, то найдите это значение для каждого случая. Запишите полное решение, используя условие коллинеарности и условие ортогональности (перпендикулярности) векторов.
Задание 3.
Задан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 1 см. Точка L – середина ребра AA1.
а) Нарисуйте этот куб и систему координат так, чтобы её начало совпадало с точкой A. Найдите координаты точек B, L, D и A1 ( ).
б) Найдите длину отрезка BL, используя формулу расстояния между точками в пространстве ( ).
в) Найдите cos Screenshot_2.jpg ( ).
4 и 4
Объяснение:
По свойству параллельных прямых и секущей сумма углов при одной стороне параллелограмма равна 180°. Следовательно, биссектрисы его соседних углов пересекаются под прямым углом. Поэтому четырехугольник, образованный четырьмя биссектрисами параллелограмма - прямоугольник. Обозначим его вершины К, L, M и N.
Биссектрисы параллелограмма, являясь секущими, отсекают от него равнобедренные треугольники ( они делят углы пополам, и накрестлежащие углы тоже равны). Противоположные стороны параллелограмма равны =>
АВ=BQ=AT=CD=CR=DS=8 Тогда ВR=12-CR=4. Аналогично длина отрезков QC,, DT,, AS равна 4.
Отрезки QR и TS равны 12-2•4=4.
По 1-му признаку равенства треугольников ∆ АВТ=∆ RCD и ∆ ABQ=∆ СDS ⇒ их стороны и углы, заключённые между ними, равны.
В равнобедренном треугольнике биссектриса=высота=медиана. ⇒ BL=LT=RN=ND
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны: ВТ║RD, а BR║TD как лежащие на параллельных сторонах ABCD.
Из доказанного выше BL=RN. ⇒ BL=RN. ⇒
Четырехугольник BRNL – параллелограмм, ⇒LN=BR=4
LN - диагональ прямоугольника KLMN. Диагонали прямоугольника равны.
КМ=LN=4 (ед. длины)